Sửa đề: các tiếp tuyến IM,IN

a: Xét tứ giác OMIN có \(\hat{OMI}+\hat{ONI}=90^0+90^0=180^0\)

nên OMIN là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

IM,IN là các tiếp tuyến

Do đó: IM=IN và OI là phân giác của góc MON

ΔOMN cân tại O

mà OI là đường phân giác

nên OI⊥MN tại trung điểm của MN

Xét (O) có

ΔMHK nội tiếp

MK là đường kính

Do đó: ΔMHK vuông tại H

=>MH⊥IK tại H

Xét ΔIMK vuông tại M có MH là đường cao

nên \(IH\cdot IK=IM^2=IM\cdot IN\)

c: Gọi A là giao điểm của NP và KI, B là giao điểm của KN và MI

Xét (O) có

ΔMNK nội tiếp

MK là đường kính

Do đó: ΔMNK vuông tại N

=>MN⊥BK tại N

Ta có: NP⊥MK

BM⊥MK

Do đó: NP//BM

Ta có: \(\hat{INM}+\hat{INB}=\hat{MNB}=90^0\)

\(\hat{IMN}+\hat{IBN}=90^0\) (ΔMNB vuông tại N)

mà \(\hat{IMN}=\hat{INM}\) (ΔIMN cân tại I)

nên \(\hat{INB}=\hat{IBN}\)

=>IN=IB

mà IN=IM

nên IM=IB(1)

Xét ΔKIB có NA//IB

nên \(\frac{NA}{IB}=\frac{KA}{KI}\) (2)

Xét ΔKMI có AP//MI

nên \(\frac{AP}{MI}=\frac{KA}{KI}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AN=AP

=>A là trung điểm của NP

=>KI đi qua trung điểm của NP

Bài 1:

Gọi K là giao điêm cua CB và AM

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥BK tại C

=>ΔACK vuông tại C

Xét (O) có

MA,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

Ta có: \(\hat{MAC}+\hat{MKC}=90^0\) (ΔACK vuông tại C)

\(\hat{MCA}+\hat{MCK}=\hat{ACK}=90^0\)

mà \(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

nên \(\hat{MKC}=\hat{MCK}\)

=>MC=MK

mà MA=MC

nên MA=MK(1)

Ta có: CH⊥AB

KA⊥BA

Do đó: CH//KA

Xét ΔBAM có IH//AM

nên \(\frac{IH}{AM}=\frac{BI}{BM}\) (2)

Xét ΔBMK có CI//MK

nên \(\frac{CI}{MK}=\frac{BI}{BM}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra CI=IH

=>I là trung điểm cua CH

Bài 2:

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥BA' tại M và BM⊥AB' tại M

Xét ΔA'AB vuông tại A và ΔABB' vuông tại B có

\(\hat{BA^{\prime}A}=\hat{B^{\prime}AB}\left(=90^0-\hat{MBA}\right)\)

Do đó: ΔA'AB~ΔABB'

=>\(\frac{A^{\prime}A}{AB}=\frac{AB}{BB^{\prime}}\)

=>\(A^{\prime}A\cdot BB^{\prime}=AB^2\)

b: Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CM

=>ΔCAM cân tại C

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

DO đó; DM=DB

Ta có: \(\hat{CAM}+\hat{CA^{\prime}M}=90^0\) (ΔAMA' vuông tại M)

\(\hat{CMA}+\hat{CMA^{\prime}}=\hat{AMA^{\prime}}=90^0\)

mà \(\hat{CAM}=\hat{CMA}\)

nên \(\hat{CA^{\prime}M}=\hat{CMA^{\prime}}\)

=>CM=CA'

mà CM=CA

nên CA=CA'

Ta có: \(\hat{DMB}+\hat{DMB^{\prime}}=\hat{BMB^{\prime}}=90^0\)

\(\hat{DBM}+\hat{DB^{\prime}M}=90^0\) (ΔBMB' vuông tại M)

mà \(\hat{DMB}=\hat{DBM}\)

nên \(\hat{DMB^{\prime}}=\hat{DB^{\prime}M}\)

=>DM=DB'

mà DM=DB

nên DB=DB'

a: xét (I) có

ΔHDB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó; ΔHDB vuông tại D

=>HD⊥AB tại D

Xét (J) có

ΔCEH nội tiếp

HC là đường kính

Do đó: ΔHEC vuông tại E

=>HE⊥AC tại E

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: Gọi O là giao điểm của AH và DE

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

TA có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔOHI và ΔODI có

OH=OD

HI=DI

OI chung

Do đó: ΔOHI=ΔODI

=>\(\hat{OHI}=\hat{ODI}\)

=>\(\hat{ODI}=90^0\)

=>DE⊥ DI tại D

=>DE là tiếp tuyến tại D của (I)

Xét ΔJEO và ΔJHO có

JE=JH

OE=OH

JO chung

Do đó: ΔJEO=ΔJHO

=>\(\hat{JEO}=\hat{JHO}=90^0\)

=>DE⊥ EJ tại E

=>DE là tiếp tuyến tại E của (J)

a: xét (I) có

ΔHDB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó; ΔHDB vuông tại D

=>HD⊥AB tại D

Xét (J) có

ΔCEH nội tiếp

HC là đường kính

Do đó: ΔHEC vuông tại E

=>HE⊥AC tại E

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: Gọi O là giao điểm của AH và DE

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

TA có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔOHI và ΔODI có

OH=OD

HI=DI

OI chung

Do đó: ΔOHI=ΔODI

=>\(\hat{OHI}=\hat{ODI}\)

=>\(\hat{ODI}=90^0\)

=>DE⊥ DI tại D

=>DE là tiếp tuyến tại D của (I)

Xét ΔJEO và ΔJHO có

JE=JH

OE=OH

JO chung

Do đó: ΔJEO=ΔJHO

=>\(\hat{JEO}=\hat{JHO}=90^0\)

=>DE⊥ EJ tại E

=>DE là tiếp tuyến tại E của (J)

1: Xét tứ giác AEDB có

\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)

=>AEDB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB

Tâm I là trung điểm của AB

Bán kính là \(IA=\dfrac{AB}{2}\)

2: Xét ΔDBH vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có

\(\widehat{DBH}=\widehat{DAC}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔDBH đồng dạng với ΔDAC

=>DB/DA=DH/DC

=>\(DB\cdot DC=DA\cdot DH\)

3: ABDE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ADE}=\widehat{ABE}=\widehat{ABN}\)

Xét (O) có

\(\widehat{ABN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN

\(\widehat{AMN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN

Do đó: \(\widehat{ABN}=\widehat{AMN}\)

=>\(\widehat{HDE}=\widehat{HMN}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên DE//MN

vì Đường tròn (O;R) có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt là F và E => góc HEA = góc HFA = 90o
mà hai góc này là hai góc đối nhau=> tứ giác AFHE nội tiếp