Câu 2:

\(f\left(x\right)=x^3-2m\cdot x^2+mx+1\)

=>f'(x)=\(3x^2-2m\cdot2x+m=3x^2-4m\cdot x+m\)

=>f''(x)=\(3\cdot2x-4m=6x-4m\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì f'(1)=0 và f''(1)>0

=>\(3\cdot1^2-4m\cdot1+m=0\) và 6*1-4m>0

=>3-4m+m=0 và 4m<6

=>3-3m=0 và m<3/2

=>m=1

1.

\(y'=4x^3-4\left(m+1\right)x\)

\(y''=12x-4\left(m+1\right)\)

Hàm đạt cực đại tại x=1 khi: \(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(1\right)=0\\y''\left(1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-4\left(m+1\right)=0\\12-4\left(m+1\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m>2\end{matrix}\right.\) 

Không tồn tại m thỏa mãn

2.

\(y'=4x^3-2\left(m+1\right)x\)

\(y''=12x^2-2\left(m+1\right)\)

Hàm đạt cực tiểu tại x=-1 khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(-1\right)=0\\y''\left(-1\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4+2\left(m+1\right)=0\\12-2\left(m+1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m< 5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=1\)

1: \(y=\frac13\cdot x^3-2mx^2+3x+1\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-2m\cdot2x+3=x^2-4mx+3\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt

=>\(\left(-4m\right)^2-4\cdot1\cdot3>0\)

=>\(16m^2>12\)

=>\(m^2>\frac34\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m>\frac{\sqrt3}{2}\\ m<-\frac{\sqrt3}{2}\end{array}\right.\)

\(y'=\dfrac{x^2+2mx-m^2+m+2}{\left(x-m\right)^2}\)

Hàm đạt cực trị tại \(x=0\Rightarrow y'=0\) có nghiệm \(x=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{-m^2+m+2}{m^2}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2\end{matrix}\right.\)

- Với \(m=-1\Rightarrow y=\dfrac{x^2+2x-2}{x-1}\Rightarrow y'=\dfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}\)

\(\Rightarrow y''=\dfrac{2}{\left(x-2\right)^3}< 0\) tại \(x=0\Rightarrow x=0\) là cực đại (ko thỏa mãn)

- Với \(m=2\Rightarrow y=\dfrac{x^2-x-2}{x+2}\Rightarrow y'=\dfrac{x^2+4x}{\left(x+2\right)^2}\)

\(\Rightarrow y''=\dfrac{8}{\left(x+2\right)^3}>0\) tại \(x=0\Rightarrow\) thỏa mãn

Vậy \(m=2\)

Ta có: \(y=\left(m-1\right)\cdot x^4-\left(m^2-2\right)\cdot x^2+2019\)

=>y'=\(\left(m-1\right)\cdot4x^3-\left(m^2-2\right)\cdot2x=\left(4m-4\right)\cdot x^3-\left(2m^2-4\right)\cdot x\)

=>y''=\(\left(4m-4\right)\cdot3x^2-\left(2m^2-4\right)=\left(12m-12\right)\cdot x^2-\left(2m^2-4\right)\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 thì y'(-1)=0 và y''(-1)>0

=>\(\left(4m-4\right)\cdot\left(-1\right)^3-\left(2m^2-4\right)\cdot\left(-1\right)=0\) và \(\left(12m-12\right)\cdot\left(-1\right)^2-\left(2m^2-4\right)\) >0

=>\(-4m+4+2m^2-4=0\) và 12m-12-2m^2+4>0

=>\(2m^2-4m=0\) và \(-2m^2+12m-8>0\)

=>2m(m-2)=0 và \(m^2-6m+4\) <0

=>m∈{0;2} và \(m^2-6m+9<5\)

=>m∈{0;2} và \(\left(m-3\right)^2<5\)

=>m=2

Ta có: \(y=\frac13x^3-mx^2+\left(m^2-4\right)x+3\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-m\cdot2x+\left(m^2-4\right)=x^2-2m\cdot x+m^2-4\)

=>y''=\(2x-2m\)

Để hàm số đạt cực đại tại x=3 thì y'(3)=0 và y''(3)<0

=>\(3^2-2m\cdot3+m^2-4=0\) và 2*3-2m<0

=>\(9-6m+m^2-4\) =0 và 6-2m<0

=>\(m^2-6m+5=0\) và 2m>6

=>(m-5)(m-1)=0 và m>3

=>m=5