Đặt \(\hept{\begin{cases}A=3^{3m^2+6n-61}+4\\t=3m^2+6n-61\end{cases}}\)

Ta có t chia cho 3 dư 2 nên t = 3k + 2

\(A=3^{3k+2}+4=9.27^k+4\)

Ta có 27 chia 13 dư 1 nên \(9.27^k\)chia cho 13 dư 9

\(\Rightarrow9.27^k+4\) chia hết cho 13

Vậy A = 13

=> k = 0 => t = 2

=> 3m² + 6n - 61 = 2

<=> m² + 2n = 21

Ta nhận xét là m² là bình phương của số lẻ nhỏ hơn 21

=> m² = (1, 9)

=> m = (1; 3)

=> n = (10; 6)

Đặt \(A=3^{3m^2+6n-61}+4\)

Đặt \(k=3m^2+6n-61\)

TH1: k=0

=>\(A=3^0+4=1+4=5\) là số nguyên tố

=>Nhận

k=0

=>\(3m^2+6n-61=0\)

=>\(3m^2+6n=61\)

=>3(m^2+2n)=61

mà 61 không chia hết cho 3

nên (m;n)∈∅

TH2: k>=1

Nếu k=4t+1 thì \(3^{k}=3^{4t+1}=81^{t}\cdot3\equiv1^{t}\cdot3\equiv3\pmod5\)

=>\(A=3^{k}+4\equiv3+4=7\equiv2\pmod5\)

Nếu k=4t+2 thì \(3^{k}=3^{4t+2}=81^{t}\cdot9\equiv1^{t}\cdot4\equiv4\pmod5\)

=>\(A=3^{k}+4\equiv4+4=8\equiv3\pmod5\)

Nếu k=4t+3 thì \(3^{k}=3^{4t+3}=81^{t}\cdot27\equiv1^{t}\cdot2\equiv2\pmod5\)

=>\(A=3^{k}+4\equiv2+4=6\equiv1\pmod5\)

Nếu k=4t thì \(3^k = (3^2)^{\frac{k}{2}} = 9^{\frac{k}{2}}\)

Đặt x=k/2

Đặt k=4t

\(A = 3^k + 4 = (3^2)^{\frac{k}{2}} + 2^2 = 9^{\frac{k}{2}} + 4\)

\(=3^{4t}+4=(3^{t})^4+4=\left[(3^{t})^2+2\right]^2-(2\cdot3^{t})^2\)

\(=(3^{2t}+2-2\cdot3^{t})(3^{2t}+2+2\cdot3^{t})\)

\(=\left[(3^{t}-1)^2+1\right]\left[(3^{t}+1)^2+1\right]\)

t>=1

=>\(3^t - 1 \ge 2 \implies (3^t - 1)^2 + 1 \ge 5 > 1\)

t>=1

=>\((3^t + 1)^2 + 1 > 1\)

Do đó: A là tích của hai thừa số lớn hơn 1

=>A là hợp số

=>(m;n)∈∅

Ta có: \(3m^2+6n-61\)chia cho 3 dư 2 nên ta đặt

\(3m^2+6n-61=3k+2\)

\(\Rightarrow A=3^{3m^2+6n-61}+4=3^{3k+2}+4=9.27^k+4\)

Ta có 27 chia 13 dư 1 nên \(27^k\)chia 13 dư 1

\(\Rightarrow9.27^k\)chia 13 dư 9

\(\Rightarrow9.27^k+4\)chia hết cho 13 hay A chia hết cho 13

Mà A là số nguyên tố nên A = 13

\(\Rightarrow k=0\)

\(\Rightarrow3m^2+6n-61=2\)

\(\Leftrightarrow m^2+2n=21\left(1\right)\)

Từ (2) ta có được m² phải là số lẻ và nhỏ hơn 21

\(\Rightarrow m^2=\orbr{\begin{cases}1\\9\end{cases}\Rightarrow m=\orbr{\begin{cases}1\\3\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow n=\orbr{\begin{cases}10\\6\end{cases}}\)

Vậy giá trị \(\left(m,n\right)=\left(1,10;3,6\right)\)

la toi

Bài 3

A = 1.2.3...n + 2024

Nếu n = 1 thì A = 1 + 2024

A = 2025

A = \(45^2\) (thỏa mãn)

Nếu n = 2 thì A = 1.2 + 2024

A = 2 + 2024

A = 2026

2026 : 8 = 253 dư 2 loại vì số chính phương chia 8 chỉ có thể dư 1 hoặc 4

Nếu n ≥ 3 thì A = 1.2.3..n + 2024

1.2.3...n ⋮ 3; 2024 : 3 = 674 dư 2

⇒ A ⋮ 3 dư 2 (loại vì số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư)

Vậy n = 1 là giá trị duy nhất thỏa mãn đề bài.

hello

Lời giải:

$A=n^4+3n^3+3n^2=n^2(n^2+3n+3)$

Để $A$ là scp thì $n^2+3n+3$ là scp.

Đặt $n^2+3n+3=x^2$ với $x$ tự nhiên.

$\Rightarrow 4n^2+12n+12=4x^2$

$\Rightarrow (2n+3)^2+3=4x^2$

$\Rightarrow 3=(2x)^2-(2n+3)^2=(2x-2n-3)(2x+2n+3)$

Đến đây là dạng PT tích cơ bản rồi. Bạn có thể tự xét TH để giải.