TXĐ: D = R \ {-2}

Ta có: \(y'=\dfrac{\left(-2x+2\right)\left(x+2\right)-\left(-x^2+2x-1\right)}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{-x^2-4x+5}{\left(x+2\right)^2}\)

\(y'=0\Rightarrow-x^2-4x+5=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-5\\x=1\end{matrix}\right.\)

⇒ Hàm số y đồng biến trên (-5, -2) và (-2, 1)

Hàm số y nghịch biến trên (-∞, -5) và (1, +∞)

non 

có cc

Tập xác định \(D=R\)

Ta có : \(y'=3^x\ln3\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)+3^x\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1\right)\)

                \(=3^x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\ln3-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)\)

Ta có : \(\begin{cases}\sqrt{x^2+1}-x>\sqrt{x^2-x}\ge0\\\ln3>1>\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\Rightarrow\ln3-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0\end{cases}\)

             \(\Rightarrow y'>0\) với mọi x

Vậy hàm số đồng biến trên R

a.

\(y'=\dfrac{\left(1+\sqrt{3x-1}\right)'}{1+\sqrt{3x-1}}=\dfrac{3}{2\left(1+\sqrt{3x-1}\right)\sqrt{3x-1}}\)

b.

\(y'=\dfrac{\left(2sin^2x-1\right)'}{\left(2sin^2x-1\right).ln10}=\dfrac{2sin2x}{\left(2sin^2x-1\right)ln10}\)

c.

\(y'=\left(3x^2+3\right)3^{x^3+3x+1}.e^x.ln3+3^{x^3+3x+1}.e^x\)

Y'=\(\frac{1}{e^x+\sqrt{1+e^{2x}}}\left(e^x+\frac{2e^{2x}}{2\sqrt{1+e^{2x}}}\right)=\frac{1}{e^x+\sqrt{1+e^{2x}}}.\frac{e^x\left(\sqrt{1+e^{2x}}+e^x\right)}{\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}\)

ĐKXĐ: \(2x-x^3\ge0\)

=>\(x^3-2x\le0\)

=>\(x\left(x^2-2\right)\le0\)

TH1: \(\begin{cases}x\ge0\\ x^2-2\le0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge0\\ x^2\le2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\ge0\\ -\sqrt2\le x\le\sqrt2\end{cases}\Rightarrow0\le x\le\sqrt2\)

TH2: \(\begin{cases}x\le0\\ x^2-2\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\le0\\ x^2\ge2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\le0\\ \left[\begin{array}{l}x\ge\sqrt2\\ x\le-\sqrt2\end{array}\right.\Rightarrow x\le-\sqrt2\end{cases}\)

\(y=\sqrt{2x-x^3}\)

=>\(y^{\prime}=\frac{\left(2x-x^3\right)^{\prime}}{2\cdot\sqrt{2x-x^3}}=\frac{2-3x^2}{2\cdot\sqrt{2x-x^3}}\)

Đặt y'>0

=>\(2-3x^2>0\)

=>\(-3x^2>-2\)

=>\(3x^2<2\)

=>\(x^2<\frac23\)

=>\(-\frac{\sqrt6}{3}

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(0

=>Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;\frac{\sqrt6}{3}\right)\)

Đặt y'<0

=>\(2-3x^2<0\)

=>\(-3x^2<-2\)

=>\(3x^2>2\)

=>\(x^2>\frac23=\frac69\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x>\frac{\sqrt6}{3}\\ x<-\frac{\sqrt6}{3}\end{array}\right.\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left[\begin{array}{l}\frac{\sqrt6}{3}

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(\frac{\sqrt6}{3};\sqrt2\right);\left(-\infty;-\sqrt2\right)\)

a: y=ln(x+1)

=>\(y'=\dfrac{1}{x+1}\)

=>\(y''=\dfrac{1'\left(x+1\right)-1\left(x+1\right)'}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{-1}{\left(x+1\right)^2}\)

b: y=tan 2x

=>\(y'=\dfrac{2}{cos^22x}\)

=>\(y''=\left(\dfrac{2}{cos^22x}\right)'=\dfrac{-2\cdot cos^22x'}{cos^42x}=\dfrac{-2\cdot2\cdot cos2x\left(cos2x\right)'}{cos^42x}\)

\(=\dfrac{4\cdot2\cdot sin2x}{cos^32x}=\dfrac{8\cdot sin2x}{cos^32x}\)