Ta có: ABCD là hình bình hành nên 

a)  ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BB}  = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC} } \right)\)

\(= \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}} \right)\)

\(= \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \) (Vì \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {0} \))

VT=\(\overrightarrow{MB}\)+\(\overrightarrow{BA}\)+\(\overrightarrow{MD}\)+\(\overrightarrow{DC}\)

    =(\(\overrightarrow{MB}\)+\(\overrightarrow{MD}\))+(\(\overrightarrow{BA}\)+\(\overrightarrow{DC}\))

    =\(\overrightarrow{MB}\)+\(\overrightarrow{MD}\)+\(\overrightarrow{0}\) (vì \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{DC}\) đối nhau)

    =\(\overrightarrow{MB}\)+\(\overrightarrow{MD}\)(đpcm)

1: Xét ΔADK và ΔCNK có

góc AKD=góc CKN

góc DAK=góc NCK

=>ΔADK đồng dạng với ΔCNK

2: Xét ΔKAM và ΔKCD có

góc KAM=góc KCD
góc AKM=góc CKD

=>ΔKAM đồng dạng với ΔKCD

=>KA/KC=KM/KD

=>KA*KD=KM*KC

a) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = 4\overrightarrow {MO} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  = 4\overrightarrow {MO} \) (luôn đúng)

(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)

b) ABCD là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Suy ra \(\)\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AC} \) (đpcm)

1: ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}\)

=>\(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}\)

2: ABCD là hình bình hành tâm O

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔMAC có MO là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\cdot\overrightarrow{MO}\) (1)

Xét ΔMBD có MO là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\cdot\overrightarrow{MO}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)

a: Xét ΔNMB và ΔNDC có

\(\hat{NMB}=\hat{NDC}\) (hai góc đồng vị, MB//DC)

\(\hat{MNB}\) chung

Do đó: ΔNMB~ΔNDC

Xét ΔKAD và ΔKCN có

\(\hat{KAD}=\hat{KCN}\) (hai góc so le trong, AD//CN)

\(\hat{AKD}=\hat{CKN}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKAD~ΔKCN

b: ΔKAD~ΔKCN

=>\(\frac{KA}{KC}=\frac{KD}{KN}\left(1\right)\)

Xét ΔKAM và ΔKCD có

\(\hat{KAM}=\hat{KCD}\) (hai góc so le trong, AM//CD)

\(\hat{AKM}=\hat{CKD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKAM~ΔKCD
=>\(\frac{KA}{KC}=\frac{KM}{KD}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{KD}{KN}=\frac{KM}{KD}\)

=>\(KD^2=KM\cdot KN\)

c: ΔNMB~ΔNDC

=>\(\frac{S_{NMB}}{S_{NDC}}=\left(\frac{NB}{NC}\right)^2=\left(\frac{6}{15}\right)^2=\left(\frac25\right)^2=\frac{4}{25}\)