Sưa đề: \(\frac{a+b+c+d}{2}

Xét ΔEAB có EA+EB>AB

Xét ΔEBC có EB+EC>BC

Xét ΔECD có EC+ED>CD

Xét ΔEAD có EA+ED>AD

Do đó: EA+EB+EB+EC+EC+ED+EA+ED>AB+BC+CD+AD

=>2(AE+EB+EC+EC)>AB+BC+CD+AD

=>2(AC+BD)>AB+BC+CD+AD=a+b+c+d

=>\(\frac{a+b+c+d}{2}\) <AC+BD(1)

Xét ΔABC có BA+BC>AC

Xét ΔADC có DA+DC>AC

Xét ΔABD có AB+AD>BD

Xét ΔCBD có CB+CD>BD

Do đó: BA+BC+DA+DC+AB+AD+CB+CD>AC+AC+BD+BD

=>2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD)

=>AC+BD<AB+BC+CD+DA=a+b+c+d(2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{a+b+c+d}{2} (ĐPCM)

\(a^2+b^2+c^2+d^2=1\) và \(ab+bc+cd+da=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=ab+bc+cd+da\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-ab-bc-cd-da=0\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2+d^2-ab-bc-cd-da\right)=0.2\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2d^2-2ab-2bc-2cd-2da=0\)

\(\Rightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+d^2+d^2-2ab-2bc-2cd-2da=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2ab-b^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2cd+d^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-d\right)^2=0\)

Ta có:

 \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\left(a-d\right)^2\ge0\)

\(\left(b-c\right)^2\ge0\)

\(\left(c-d\right)^2\ge0\)

Mà tổng của chúng đều là 0

\(\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\)

\(\Rightarrow a-d=0\Rightarrow a=d\)

\(\Rightarrow b-c=0\Rightarrow b=c\)

\(\Rightarrow c-d=0\Rightarrow c=d\)

\(\Rightarrow a=b=c=d\)

Thay: \(a^2+b^2+c^2+d^2=1\) ta được

\(\Rightarrow a^2+a^2+a^2+a^2=1\)

\(\Rightarrow4a^2=1\)

\(\Rightarrow a^2=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{\pm\frac{1}{2}\right\}\)

1: ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}\)

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}\)

2: \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CB}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CB}\)

\(=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\)

3:

a: \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}\)

\(=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\)

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\)

Gọi H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có AH là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AH}\)

b: ABCD là hình vuông

=>\(DB^2=DA^2+AB^2\)

=>\(DB^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(DB=a\sqrt2\)

ABCD là hình vuông

=>\(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}\)

=>\(\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right|=DB=a\sqrt2\)

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}\right|=CA=a\sqrt2\)

Svacxo chăng :33 Ai thử đi, e sợ biến nhiều lắm :))