Diện tích tam giác : S = 1/2.ab.sinC.

Mà ta có 0 < sin C < 1 nên 0 < S ≤ 1/2.ab

Vậy Max S = 1/2.ab

Dấu “=” xảy ra khi sin C = 1 ⇔ C = 90º.

Vậy trong các tam giác có hai cạnh a và b, tam giác vuông có diện tích lớn nhất bằng 1/2.ab

Đáp án là A.

Gọi x 0 < x < a    là độ dài của một cạnh góc vuông.

Độ dài cạnh góc vuông còn lại là: a − x 2 − x 2 = a 2 − 2 a x .

Diện tích của tam giác là: S = 1 2 x a 2 − 2 a x .

Ta có S ' = 1 2 a 2 − 3 a x a 2 − 2 a x ; ⇒ S ' = 0 ⇔ x = a 3 .

Bảng biến thiên:

vậy  S max = a 2 6 3

a: Gọi M là trung điểm của BC

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=a\)

ΔAHM vuông tại H

=>AH<=AM

=>DE<=AM

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với M

=>H là trung điểm của BC

Vậy; \(DE_{\max}=AM=a\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\)

=>\(AD=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\)

=>\(AE=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(S_{ADHE}=AD\cdot AE=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}=\frac{AH^3}{2a}\)

=>\(S_{ADHE}\) lớn nhất khi AH lớn nhất

mà AH<=a

nên \(S_{ADHE\left(max\right)}=\frac{a^3}{2a}=\frac{a^2}{2}\)