2012^k.(2015^k+1)=2012^k.2015^k+2012^k

= 4054180^k+2012^k

vi 2012^k khong chia het cho 5 va 10

ma 4054180^k chia het cho 2;5;10

=> sai de

\(2015^{k+1}\)

Phải không 

gọi a,b la 2 so tu nhien

ta có

a+b=2n+1(n thuoc n sao)

suy ra a=2n,b=2n+1 hoặc b=2n,a=2n+1

suy ra tích cua chúng chia hết cho 2 vì trong tích đều co số chia hết cho2

1) Nếu đó là 2 số lẻ => tổng của chúng chia hết cho 2 => vô lí

    Đối với trg hợp 2 số chẵn, tương tự như 2 số lẻ.

    Mà số chẵn chia hết cho 2 và nhân với số nào cũng ra số chẵn

=> đpcm

Theo một tính chất cơ bản ta dễ có:

\(10^{2k}-1=\left(10^k\right)^2-1⋮10^k-1⋮19\)

Suy ra đpcm

Vì \(p,\ p+2014k,\ p+2015k\) đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ.

Ta có \(p\) và \(p+2014k\) đều lẻ.

Mà 2014 là số chẵn nên \(2014k\) phải là số chẵn. Điều này chưa đủ để kết luận \(k\) chẵn, ta xét tiếp:

Vì \(p+2014k\) và \(p+2015k\) đều lẻ nên hiệu của chúng là số chẵn.

Ta có:

\((p+2015k)-(p+2014k)=k\).

Suy ra \(k\) là số chẵn, hay \(2\mid k\).

Mặt khác, vì \(p\) chia cho 3 dư 1 nên \(p\) không chia hết cho 3.

Giả sử \(k\) không chia hết cho 3.

Khi đó \(k\) chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2.

Ta có \(2014\) chia cho 3 dư 1 và \(2015\) chia cho 3 dư 2.

- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 1 thì \(p+2015k\) chia cho 3 dư \(1+2=3\), tức là chia hết cho 3.

- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 2 thì \(p+2014k\) chia cho 3 dư \(1+2=3\), tức là chia hết cho 3.

Như vậy, một trong hai số \(p+2014k,\ p+2015k\) chia hết cho 3.

Điều này vô lý vì cả hai đều là số nguyên tố lớn hơn 3.

Vậy \(k\) chia hết cho 3.

Mà \(k\) chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên \(k\) chia hết cho 6.

Vậy \(k\) chia hết cho 6.

Vì \(p,\ p+2014k,\ p+2015k\) đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ.

Ta có:

\((p+2015k)-(p+2014k)=k\).

Vì hiệu của hai số lẻ là số chẵn nên \(k\) là số chẵn.

Suy ra \(k\) chia hết cho 2.

Mặt khác, vì \(p\) chia cho 3 dư 1 nên \(p\equiv1\pmod3\).

Ta có \(2014\) chia cho 3 dư 1 và \(2015\) chia cho 3 dư 2.

Giả sử \(k\) không chia hết cho 3.

- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 1 thì \(p+2015k\) chia cho 3 dư \(1+2\cdot1=3\), tức là chia hết cho 3.

- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 2 thì \(p+2014k\) chia cho 3 dư \(1+1\cdot2=3\), tức là chia hết cho 3.

Cả hai trường hợp đều dẫn đến một trong hai số \(p+2014k,\ p+2015k\) chia hết cho 3.

Điều này vô lý vì chúng là các số nguyên tố lớn hơn 3.

Vậy \(k\) chia hết cho 3.

Mà \(k\) chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên \(k\) chia hết cho \(2\cdot3=6\).

Vậy \(k\) chia hết cho 6.

Sửa lại đề là: Cho 10^k - 1 chia hết cho 19

a) 10^k - 1 chia hết cho 19 => 10^k - 1 = 19n (n là số tự nhiên)

=> 10^k = 19n + 1 => 10^2k = (10^k)² = (19n +1)² = (19n +1)(19n+1)  = 361n² + 38n + 1

=> 10^2k - 1  = 361n² + 38n + 1 - 1 = 361n² + 38n chia hết cho 19 => 10^2k - 1 chia hết cho 19

b) Tường tự,

10^3k = (10^k)³ = (19n + 1)³ = (19n +1)².(19n +1) = (361n² + 38n +1).(19n +1) = 6859n³ + 1083n² + 57n + 1

=> 10^3k -1 = 6859n³ + 1083n² + 57n  chia hết cho 19 

vậy 10^3k - 1 chia hết cho 19 

hình như sai đề vì số là lũy thừa của 10 làm gì chia hết cho 19