Theo đề ta có:
\(\dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{\widehat{B}}{4}=\dfrac{\widehat{C}}{6}=\dfrac{\widehat{D}}{8}\) và \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\) (tổng các góc trong tứ giác)  

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{\widehat{B}}{4}=\dfrac{\widehat{C}}{6}=\dfrac{\widehat{D}}{8}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}}{2+4+6+8}=\dfrac{360^o}{20}=18\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=18\cdot2=36^o\\\widehat{B}=18\cdot4=72^o\\\widehat{C}=18\cdot6=108^o\\\widehat{D}=18\cdot8=144^o\end{matrix}\right.\) 

Đặt \(a=\hat{A};b=\hat{B};c=\hat{C};d=\hat{D}\)

Theo đề, ta có: a:b:c:d=2:3:4:3

=>\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{d}{3}\)

Xét tứ giác ABCD có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^0\)

=>a+b+c+d=360

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{d}{3}=\frac{a+b+c+d}{2+3+4+3}=\frac{360^0}{12}=30^0\)

=>\(\begin{cases}a=30^0\cdot2=60^0\\ b=30^0\cdot3=90^0\\ c=30^0\cdot4=120^0\\ d=30^0\cdot3=90^0\end{cases}\)

=>\(\hat{A}=60^0;\hat{B}=90^0;\hat{C}=120^0;\hat{D}=90^0\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{CDA}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{ADC}=60^0\)

DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADB}=\hat{BDC}=\frac12\cdot\hat{ADC}=30^0\)

Xét ΔBDC có \(\hat{BDC}+\hat{BCD}=60^0+30^0=90^0\)

nên ΔBCD vuông tại B

=>\(BD^2+BC^2=CD^2\)

=>\(CD^2=3^2+4^2=9+16=25=5^2\)

=>CD=5(cm)

AB//CD
=>\(\hat{ABD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{ABD}=30^0\)

Xét ΔABD có \(\hat{ABD}=\hat{ADB}\left(=30^0\right)\)

nên ΔABD cân tại A

=>AB=AD=3cm

Độ dài đường trung bình EF là:

\(EF=\frac12\left(AB+CD\right)=\frac12\cdot\left(3+5\right)=\frac12\cdot8=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

a: AB//CD

=>\(\hat{B}+\hat{C}=180^0;\hat{A}+\hat{D}=180^0\)

b: \(\hat{A}+\hat{D}=180^0\)

=>\(\hat{A}=180^0-60^0=120^0\)

\(\frac{\hat{B}}{\hat{D}}=\frac43\)

=>\(\hat{B}=\frac43\cdot60^0=80^0\)

Ta có: \(\hat{B}+\hat{C}=180^0\)

=>\(\hat{C}=180^0-80^0=100^0\)

Dễ thấy AB=BC=CD=DE

và \(ABC\ge CDE=>AC\ge CE\)

Tam giác ACE có \(AC\ge CE=>AEC\ge CAE\left(1\right)\)

\(ABC\ge CDE=>\frac{180^0-B}{2}\le\frac{180^0-D}{2}=>BAC\le CED=>CED\ge BAC\left(2\right)\)

Cộng theo vế (1) và (2)

\(AEC+CED\ge CAE+BAC=>E\ge A,mà.E\le A=>E=A\)

Vậy \(A=B=C=D=E\),mà ngũ giác ABCDE có các cạnh = nhau nên là ngũ giác đều

a: Ta có: \(AB=AD=\frac{CD}{2}\)

\(DM=MC=\frac{DC}{2}\)

Do đó: AB=AD=DM=MC

Xét tứ giác ABCM có

AB//CM

AB=CM

Do đó: ABCM là hình bình hành

Xét tứ giác ABMD có

AB//MD

AB=MD

Do đó: ABMD là hình bình hành

Hình bình hành ABMD có AB=AD
nên ABMD là hình thoi

Hình thoi ABMD có \(\hat{BAD}=90^0\)

nên ABMD là hình vuông

b: ABMD là hình vuông

=>AM⊥BD tại trung điểm của mỗi đường

=>AM⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AM và BD

ABCM là hình bình hành

=>AC cắt BM tại trung điểm của mỗi đường

=>E là trung điểm chung của AC và BM

Xét ΔAMC có

O,E lần lượt là trung điểm của AM,AC

=>OE là đường trung bình của ΔAMC

=>OE//MC và \(OE=\frac{MC}{2}\)

OE//MC

=>OE//DN

=>DOEN là hình thang

ΔADC vuông tại D

mà DE là đường trung tuyến

nên \(DE=\frac{AC}{2}\) (1)

Xét ΔMAC có

O,N lần lượt là trung điểm của MA,MC

=>ON là đường trung bình cua ΔMAC

=>ON//AC và \(ON=\frac{AC}{2}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra DE=ON

Xét hình thang DOEN có OE//DN

và DE=ON

nên DOEN là hình thang cân