cho a, b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc
CMR : (√b2+2a2)/ab + (√c2+2b2)/bc + (√a2+2c2)/ac
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 5 2022
P≤√a2+2√aab+2b2+√b2+2√2bc+2c2+√c2+2√2ca+2a2P≤a2+2aab+2b2+b2+22bc+2c2+c2+22ca+2a2
P≤√(a+√2b)2+√(b+√2c)2+<...
NA
1
13 tháng 8 2021
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
23 tháng 6
Ta có $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$
$=a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+4(a^2+b^2+c^2)+8
Suy ra $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-18-3(a^2+b^2+c^2)$
$=a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+(a^2+b^2+c^2)-10$
Đặt $s=a^2+b^2+c^2$
Ta có $s\ge ab+bc+ca=3$ và $\sum a^2b^2\ge ab+bc+ca=3$
(vì $ab+bc+ca=3$ và $\sum a^2b^2\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3}$).
Do đó $a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+s-10$$\ge 0+2\cdot3+3-10$$=-1$
Mặt khác $\sum a^2b^2\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3}=3$ nên $a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+s-10$
$\ge a^2b^2c^2+s-4$
Lại có $(ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)$
$\Rightarrow a+b+c\le \dfrac3{abc}$ và $s=(a+b+c)^2-6\ge \dfrac9{a^2b^2c^2}-6$
Đặt $t=abc$.
Khi đó $a^2b^2c^2+s-4\ge t^2+\dfrac9{t^2}-10$
$=\left(t-\dfrac3t\right)^2-4\ge0$
(vì từ $ab+bc+ca=3$ suy ra $t\le1$).
Vậy $\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-18\ge 3(a^2+b^2+c^2)}.$
Dấu bằng khi $\boxed{a=b=c=1.}$
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
23 tháng 6
$a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-4(ab+bc+ca)$
$\ge (a+b+c)^2-\dfrac43(a+b+c)^2\qquad \left(ab+bc+ca\le\dfrac{(a+b+c)^2}{3}\right)$$=-\dfrac13(a+b+c)^2$
Lại có $(a+b+c)^2\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3(abc)^{\frac23}<3$ nên cách này không đủ mạnh.
Ta dùng $a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2-(ab+bc+ca)$
$\ge -(ab+bc+ca)$
Theo AM-GM,
$ab+bc+ca\le 3\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)\le 3$ và do $abc<1$ nên không thể có $ab=bc=ca=1$.
Suy ra $ab+bc+ca<3$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)>-3$
$\boxed{a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)>-3.}$