Áp dụng Bđt Cô-si ta có:

\(b-1+1\ge2\sqrt{b-1}\Leftrightarrow\frac{b}{2}\ge\sqrt{b-1}\)

\(\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}\le\frac{ab}{2}\)

Tương tự ta có: \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)

minh ko biet

tk nhe

xin do

bye

Lời giải:

a) Ta thấy: \(a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0, \forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}>0\Rightarrow \frac{1}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{ab}}\).

Vì $a> b$ nên dấu bằng không xảy ra . Tức \(\frac{1}{a+b}< \frac{1}{2\sqrt{ab}}\)

Ta có đpcm

b)

Áp dụng kết quả phần a:

\(\frac{1}{3}=\frac{1}{1+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.1}}\)

\(\frac{1}{5}=\frac{1}{3+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.3}}\)

\(\frac{1}{7}=\frac{1}{4+3}< \frac{1}{2\sqrt{4.3}}\)

.....

\(\frac{1}{4021}=\frac{1}{2011+2010}< \frac{1}{2\sqrt{2011.2010}}\)

Do đó:

\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}+...+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{4021}\)

\(< \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2\sqrt{2.1}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3.2}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2\sqrt{4.3}}+....+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{2\sqrt{2011.2010}}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{2010}}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}< \frac{1}{2}\) (đpcm)

\(\text{Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:}\)

\(\left(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\right)^2=\left(1\sqrt{a-1}+1\sqrt{b-1}\right)^2\le\left(a-1+1\right)\left(b+1-1\right)=ab\)
\(\text{Dễ chứng minh được:}\) \(\sqrt{ab}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{c\left(a+1\right)}\)

\(\text{Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:}\)

\(\left(1\sqrt{ab}+1\sqrt{c-1}\right)^2\le\left(ab+1\right)\left(1+c-1\right)=c\left(ab+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{c\left(ab+1\right)}\)

Từ trên ta có: \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{ab}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{c\left(ab+1\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{c\left(ab+1\right)}\left(đpcm\right)\)

hi kết bạn nha

Tham khảo

Câu hỏi của Châu Trần - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

à xl gửi lộn