c: O là trung điểm của AB

=>OA=OB=R

I là trung điểm của OA

=>OI=OA=0,5R

=>IB=1,5R

ΔIHA đồng dạng với ΔIBM

=>IH/IB=IA/IM

=>IH=3R/8

em cảm ơn

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

b: CD=CM+MD

=CA+DB

c: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(CM\cdot MD=OM^2\)

=>\(CA\cdot BD=OM^2=R^2\)

d: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

=>MA⊥MB

ΔOAM cân tại O

mà OC là đường phân giác

nên OC⊥AM

OC⊥AM

AM⊥MB

Do đó: OC//MB

e: Gọi N là trung điểm của CD

=>N là tâm đường tròn đường kính CD

ΔOCD vuông tại O

mà ON là đường trung tuyến

nên NO=OC=OD

=>O nằm trên (N)

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC
=>ON//AC//BD

=>ON⊥AB

=>AB là tiếp tuyến tại O của (CD/2)

Xét (O'): \(O'A\perp AB\) tại A và O'A là bán kính.

\(\Rightarrow\)AB là tiếp tuyến của (O') tại A.

\(\Rightarrow\widehat{NAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AN.

Mặt khác \(\widehat{AMN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN.

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{NAB}\left(1\right)\)

Xét (O): \(\widehat{AMC}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\right)\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{ABC}\) nên AN//BC.

a: Xét tứ giác OPMN có \(\hat{OPM}+\hat{ONM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OPMN là tứ giác nội tiếp

a: Xét \(\left(O_1\right)\) có

ΔAPH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAPH vuông tại P

=>HP⊥AM tại P

Xét \(\left(O_2\right)\) có

ΔHQB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHQB vuông tại Q

=>HQ⊥MB tại Q

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)

nên MPHQ là hình chữ nhật

b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao

nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)

Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao

nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)

=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)

Xét ΔMPQ vuông tại M và ΔMBA vuông tại M có

\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)

Do đó: ΔMPQ~ΔMBA

c: ΔMPQ~ΔMBA

=>\(\hat{MPQ}=\hat{MBA};\hat{MQP}=\hat{MAB}\)

\(\hat{O_1PQ}=\hat{O_1PH}+\hat{HPQ}=\hat{AHP}+\hat{HPQ}\)

\(=\hat{AHP}+\hat{HMB}=\hat{MBA}+\hat{HMB}=90^0\)

=>\(PO_1\) ⊥PQ

=>PQ là tiếp tuyến tại P của \(\left(O_1\right)\)

\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{O_2QH}\)

\(=\hat{PMH}+\hat{BHQ}=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)

=>\(QO_2\) ⊥QP tại Q

=>QP là tiếp tuyến tại Q của \(\left(O_2\right)\)

a) Vì TO là đường kính \(\Rightarrow\angle TMO=90\) mà \(M\in\left(O\right)\Rightarrow TM\) là tiếp tuyến của (O)

b) Xét \(\Delta TMC\) và \(\Delta TDM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MTDchung\\\angle TMC=\angle TDM\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TMD\sim\Delta TCM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{TC}{TM}=\dfrac{TM}{TD}\Rightarrow TC.TD=TM^2\)

c) Vì đường tròn đường kính TO có tâm I và đường tròn (O) cắt nhau tại M và N \(\Rightarrow\) IO là trung trực của MN \(\Rightarrow MN\bot TO\)

mà \(\Delta TMO\) vuông tại M \(\Rightarrow TM^2=TE.TO\) (hệ thức lượng)

mà \(TC.TD=TM^2\Rightarrow TC.TD=TE.TO\Rightarrow\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\)

Xét \(\Delta TEC\) và \(\Delta TDO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OTDchung\\\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TEC\sim\Delta TDO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle TEC=\angle TDO\Rightarrow ODCE\) nội tiếp

Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

- MA là tia phân giác của góc HMC

Vậy C, M, D thẳng hàng.

Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = AH và BD = BH

Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH

Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi