Kẻ đường cao BH

Ta có: \(sinBAC=\dfrac{BH}{AB}\Rightarrow BH=sin70.6\approx5,63\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.BH.AC=\dfrac{1}{2}.5,63.10=28,15\left(cm^2\right)\)

\(A=180^0-\left(B+C\right)=70^0\)

\(\Rightarrow A=B\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại C

\(\Rightarrow BC=AC=10\left(cm\right)\)

Kẻ đường cao CH \(\Rightarrow\) H đồng thời là trung điểm AB

Trong tam giác vuông ACH:

\(cosA=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AH=AC.cosA=10.cos70^0\approx3,42\left(cm\right)\)

\(AB=2AH\approx6,84\left(cm\right)\)

b. Cũng trong tam giác vuông ACH:

\(sinA=\dfrac{CH}{AC}\Rightarrow CH=AC.sinA=10.sin70^0\approx9,4\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}CH.AB\approx32,15\left(cm^2\right)\)

a: \(AC=\frac65AB=\frac65\cdot15=18\left(\operatorname{cm}\right)\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot15\cdot18=9\cdot15=135\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Sửa đề: \(AP=\frac12AB\)

Ta có: \(AP=\frac12AB\)

=>P là trung điểm của AB

=>\(PA=PB=\frac{AB}{2}\)

=>\(S_{CPB}=\frac12\cdot S_{CAB}=\frac{135}{2}=67,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c: Ta có: CQ+QA=CA

=>\(AQ=CA-CQ=CA-\frac13\cdot CA=\frac23CA\)

=>\(S_{AQB}=\frac23\cdot S_{ABC}=\frac23\cdot135=90\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

d: Ta có: \(AP=\frac12AB\)

=>\(S_{AQP}=\frac12\cdot S_{AQB}=\frac12\cdot90=45\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(S_{AQP}+S_{BPQC}=S_{ABC}\)

=>\(S_{BPQC}=135-45=90\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow AB=\dfrac{AC\sqrt{6}}{3}\)

\(AB.AC=32\sqrt{6}\Rightarrow\dfrac{AC^2\sqrt{6}}{3}=32\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow AC^2=96\Rightarrow AC=4\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{AC\sqrt{6}}{3}=8\)

Kẻ đường cao AD ứng với BC

Do \(C=45^0\Rightarrow\widehat{CAD}=90^0-45^0=45^0\Rightarrow\Delta ACD\) vuông cân tại D

\(\Rightarrow AD=CD=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=4\sqrt{3}\)

Pitago tam giác vuông ABD:

\(BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=4\)

\(\Rightarrow BC=CD+BD=4+4\sqrt{3}\)

\(cosB=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow B=60^0\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AD.BC=\dfrac{1}{2}.4\sqrt{3}.\left(4+4\sqrt{3}\right)=...\)

Cạnh AC dài \(10:\dfrac{1}{3}=30\left(cm\right)\)

Diện tích ABC là \(\dfrac{1}{2}\times30\times10=150\left(cm\right)\)

Cạnh AC dài 

Diện tích ABC là 

\(\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sinA=6\)

=>1/2*3*sin135*AB=6

=>\(AB=4\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Xin hình với lời giải chi tiết ạ!