a. 

Đề bài sai, ví dụ \(n=1\) lẻ nhưng  \(1^2+4.1+8=13\) ko chia hết cho 8

b.

n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

\(\Rightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 48

Bài 7:

b: n là số lẻ

=>n=2k+1

\(B=n^3+3n^2-n-3\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)=\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

=(2k+1+3)(2k+1+1)(2k+1-1)

=2k(2k+2)(2k+4)

=8k(k+1)(k+2)

Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên k(k+1)(k+2)⋮3!=6

=>8k(k+1)(k+2)⋮48

=>B⋮48

phân tích n^2+4n+8=(n+1)(n+3)

vì là số tự nhiên lẻ nên đặt n=2k+1(k thuộc N)

=>n^2+4n+8=(n+1)(n+3)=(2k+2)(2k+4)

=4.(k+1)(k+2)

(k+1)(k+2) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

=>4.(k+1)(k+2)\(⋮\)8

bài kia làm tương tự

a: Giả sử n không chia hết cho 2

=>n=2k+1

\(n^2=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=2\left(2k^2+2k\right)+1\)

=>\(n^2\) không chia hết cho 2

=>Trái với giả thiết ban đầu

=>Nếu \(n^2\) ⋮2 thì n⋮2

b: Giả sử n không chia hết cho 3

=>n=3k+1 hoặc n=3k+2

TH1: n=3k+1

=>\(n^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1\)

\(=3\left(3k^2+2k\right)+1\)

=>\(n^2\) không chia hết cho 3(1)

TH2: n=3k+2

=>\(n^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+12k+4\)

\(=3\left(3k^2+4k+1\right)+1\)

=>\(n^2\) không chia hết cho 3(2)

Từ (1),(2) suy ra \(n^2\) không chia hết cho 3, trái với giả thiết

=>Nếu \(n^2\) ⋮3 thì n⋮3

A = n³ + 3n² - n - 3

A = n².(n + 3) - (n + 3)

A = (n + 3).(n² - 1)

A = (n + 3).(n - 1).(n + 1)

Vì n lẻ nên n + 3 chẵn; n - 1 chẵn; n + 1 chẵn

=> A = (n + 3).(n - 1).(n + 1) là tích 3 số chẵn, chia hết cho 2 (đpcm)

\(A=n^3+3n^2-n-3\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n lẻ nên n có dạng: \(n=2k+1\left(\forall k\in N\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=\left(2k+4\right).2k.\left(2k+2\right)\)

\(=2\left(k+2\right).2k.2\left(k+1\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Mà 8k(k+1)(k+2)\(⋮8\forall k\)

Nên \(A⋮8\)

n³-n=n(n-1)(n+1)

n(n-1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2

n lẻ => n+1 chẵn n-1 chẵn mà tích 2 số chẵn chia hết cho 4  =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 4

Ta thấy trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 3

=>n(n-1)(n+1) chia hết cho 2.3.4=24(ĐPCM)
 

A=n³+n²+2n²+2n

=n²(n+1)+2n(n+1)

=(n+1)(n²+2n)

=n(n+1)(n+2)

Vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

=>n(n+1)(n+2) luôn chia hết cho 3 với mọi 

=>A luôn chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.