AB//CD

=>\(\hat{ABC}+\hat{BCD}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

=>\(\hat{ABC}=180^0-40^0=140^0\)

Gọi O là giao điểm của BC và AD

Xét ΔODC có AB//DC

nên \(\frac{AB}{DC}=\frac{OA}{OD}\)

=>\(\frac{OA}{OD}=\frac48=\frac12\)

=>A là trung điểm của OD

=>OA=AD

=>OA=3(cm)

ΔOAB vuông tại A

=>\(OA^2+AB^2=OB^2\)

=>\(OB^2=3^2+4^2=9+16=25=5^2\)

=>OB=5(cm)

Xét ΔODC có

A là trung điểm của OD

AB//CD

Do đó: B là trung điểm của OC

=>OB=BC

=>BC=5(cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)\cdot AD\)

\(=\frac12\cdot3\cdot\left(4+8\right)=\frac32\cdot12=18\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Do AB//CD

=) \(\widehat{A}\)+\(\widehat{D}\)=180⁰ (2 góc vị trí trong cùng phía )

  100⁰ + \(\widehat{D}\)=180⁰

             ^{\(\widehat{D}\)}=180⁰ - 100⁰

           \(\widehat{D}\)= 80⁰

Xét tứ giác ABCD có :

\(\widehat{A}\)+\(\widehat{B}\)+\(\widehat{C}\)+\(\widehat{D}\)=360⁰

100⁰+120⁰+\(\widehat{C}\)+80⁰ =360⁰

 300⁰ +\(\widehat{C}\)=360⁰

         \(\widehat{C}\)= 60⁰

2) Từ B kẻ BE \(\perp\)CD

Xét tam giác ADH (\(\widehat{AH\text{D}}\)=90⁰) và BCE (\(\widehat{BEC}\)=90⁰) có:

           AD=BC (tính chất hình thang cân)

          \(\widehat{A\text{D}H}\)=\(\widehat{BCE}\)(tính chất hình thang cân)

=) Tam giác ADH = Tam giác BCE (cạch huyền - góc nhọn )

=)  DH= CE (2 cạch tương ứng )

Do AB//CD Mà AH\(\perp\)CD=) AH\(\perp\)AB

Xét tứ giác ABEH có

\(\widehat{BAH}\)= \(\widehat{AHE}\) = \(\widehat{BEH}\) = 90⁰

=) Tứ giác ABEH lá hình chữ nhật =) AB=HE=10 cm

Ta có : DH+HE+EC= 20 cm

         2DH+10=20

         2DH =10

           DH = 5 (cm)

xét tam giác vuông AHD 

Áp dụng định lí Pitago ta có

AD²=AH²+HD²

AD²=12²+5²

AD²= 144+25=169

AD=13 cm (đpcm)

Ta có; ABCD là hình thang cân có AB//CD

=>\(\hat{BAD}=\hat{ABC};\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

\(\hat{C}+\hat{D}=2\left(\hat{A}+\hat{B}\right)\)

=>\(2\cdot\hat{C}=2\cdot2\cdot\hat{B}\)

=>\(\hat{C}=2\cdot\hat{B}\)

AB//CD
=>\(\hat{C}+\hat{B}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

=>\(2\cdot\hat{B}+\hat{B}=180^0\)

=>\(3\cdot\hat{B}=180^0\)

=>\(\hat{B}=60^0\)

\(\hat{C}=2\cdot\hat{B}=2\cdot60^0=120^0\)

\(\hat{ADC}=\hat{BCD}=120^0\)

\(\hat{BAD}=\hat{ABC}=60^0\)

a: TA có: DC//AB

=>DC//AE và DC//BE

Ta có: \(DC=\frac{AB}{2}\)

\(AE=BE=\frac{AB}{2}\)

Do đó: DC=AE=BE

Xét tứ giác DCEA có

DC//EA

DC=AE

Do đó: DCEA là hình bình hành

Hình bình hành DCEA có \(\hat{CDA}=90^0\)

nên DCEA là hình chữ nhật

=>\(\hat{DCE}=\hat{CEA}=\hat{CDA}=\hat{DAE}=90^0\)

CD⊥AD

mà CD⊥SA(SA⊥(ABCD))

và SA,AD cùng thuộc mp(SAD)

nên CD⊥(SAD)

=>(SCD)⊥(SAD)
ADCE là hình chữ nhật

=>CE=AD=a

mà CD=DA=a

nên CE=EA=CD=DA=a

=>DCEA là hình vuông

AE+EB=AB

=>EB=2a-a=a

=>AE=EB

=>E là trung điểm của AB

Xét ΔCAB có

CE là đường trung tuyến

CE=AB/2

Do đó: ΔCAB vuông tại C

=>CA⊥CB

mà SA⊥BC(SA⊥(ABCD))

và SA,CA cùng thuộc mp(SAC)

nên BC⊥(SAC)

=>BC⊥AH

mà AH⊥SC
và BC,SC cùng thuộc mp(SBC)

nên AH⊥(SBC)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow\left(SCD\right)\perp\left(SAD\right)\)

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=a\sqrt{2}\)

\(BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AC^2+BC^2=AB^2\Rightarrow AC\perp BC\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BC\perp AH\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)

b.

\(CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD) 

\(\Rightarrow\widehat{SDA}=30^0\Rightarrow SA=AD.tan30^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\\AD\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)

Qua S kẻ đường thẳng d song song AD

Do \(AD||CE\) \(\Rightarrow\) d là giao tuyến (SAD) và (SCE)

Mà \(d\perp\left(SAB\right)\Rightarrow\widehat{ASE}\) là góc giữa (SAD) và (SCE)

\(AE=\dfrac{AB}{2}=a\)

\(tan\widehat{ASE}=\dfrac{AE}{SA}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{ASE}=60^0\)