Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(AD=\frac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\frac{BAC}{2}\right)\)

\(=\frac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos60=\frac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot\frac12=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}\)

=>\(\frac{1}{AD}=\frac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

A B C D E F

Đặt AB = a  ; AC = b ;  AD = c . Kẻ DE vuông góc AC ( \(E\in AB;F\in AC\) )
Ta có tứ giác AFDE là hình chữ nhật do \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\) , AD phân giác trong của \(\widehat{EAF}\) nên \(\widehat{AFDE}\) là hình vuông . Suy ra 

\(DE=DF=\frac{AD\sqrt{2}}{2}=\frac{C\sqrt{2}}{2}\) . Ta có :

\(S_{DAB}+S_{DAC}=S_{ABC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}AB.DE+\frac{1}{2}DF.AC=\frac{1}{2}AC.AB\)

\(\Leftrightarrow\frac{c\sqrt{2}}{2}a+\frac{c\sqrt{2}}{2}b=ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{2}}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) . Hay \(\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

Chúc bạn học tốt !!!

C E A B D 1 2

Kẻ \(DE||AB\left(E\in AC\right)\)

\(\Rightarrow\frac{DE}{AB}=\frac{EC}{AC}\)

\(\Delta ADE\)đều (vì.............)\(\Rightarrow AD=AE=DE\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{AC-AE}{AC}\)mà \(AE=AD\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=1-\frac{AD}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}=1\)

\(\Rightarrow AD\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}\left(ĐPCM\right)\)