Cho đường tròn (O;R) đường kính AB ; lấy điểm C ngoài đường tròn sao cho B là trung điểm của OC.Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM và CN đến (O)a)Chứng minh: \(\Delta\)AMN là tam giác cân . Tính CM và AM theo Rb)Chứng minh: AMCN là hình thoi. Tính SAMCN theo Rc)Gọi I là trung điểm của CM;AI cắt OM tại K . Chứng minh K là trung điểm của AId)Tính S\(\Delta\)AKB theo...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB ; lấy điểm C ngoài đường tròn sao cho B là trung điểm của OC.Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM và CN đến (O)
a)Chứng minh: \(\Delta\)AMN là tam giác cân . Tính CM và AM theo R
b)Chứng minh: AMCN là hình thoi. Tính SAMCN theo R
c)Gọi I là trung điểm của CM;AI cắt OM tại K . Chứng minh K là trung điểm của AI
d)Tính S\(\Delta\)AKB theo R
A B O M N C P I K H
a) CM và CN là hai tiếp tuyến của (O) tại M và N
=> CM = CN và CO là p/g của góc MCN (tính chất tiếp tuyến)
Xét tam giác AMC và ANC có: CM = CN ; góc MCA = NCA (do CO là p/g của góc MCN); Cạnh chung CA
=> tam giác AMC = ANC (c - g- c)
=> AM = AN => tam giác AMN cân tại A
+) B là trung điểm của OC => OC = 2.OB = 2R
CM là tiếp tuyến của (O) tại M => CM vuông góc với OM
=> tam giác OMC vuông tại M
=> CM2 = CO2 - OM2 (Theo ĐL Pi ta go)
=> CM2 = (2R)2 - R2 = 3R2 => CM = R.\(\sqrt{3}\)
+) Nối M với B; MN cắt OC tại P
Ta có: OM = ON (= R) ; CM = CN => OC là trung trực của MN => MP vuông góc với OC
AD hệ thức lượng trong tam giác vuông OMC có: OM2 = OP. OC => OP = OM2 / OC = R2/ 2R = R/2
=> AP = AO + OP = R + R/2 = 3R/2
và MP . OC = OM . MC => MP = OM . MC : OC = R.(R. \(\sqrt{3}\)) : 2R = R\(\sqrt{3}\)/2
Trong tam giác vuông APM có: AM2 = AP2 + PM2 = (3R/2)2 + ( R\(\sqrt{3}\)/2)2 = 3R2
=> AM = R\(\sqrt{3}\)
b) Từ câu a) => AM = CM mà AM = AN; CM = CN => AM = AN = NC = CM
=> Từ giác AMCN là hình thoi
Vì OC là trung trực của mN => P là trung điểm của MN => MN = 2MP = R \(\sqrt{3}\); AC = AB + BC = 3R
SAMCN = AC . MN : 2 = 3R. R\(\sqrt{3}\) : 2 = 3\(\sqrt{3}\)R2/2
c) Xét tam giác AMN có O thuộc trung tuyến AP và AO = 2/3AP
=> O là trọng tâm tam giác AMN => MO là đường trung tuyến
Kéo dài MO cắt AN tại H => H là trung điểm của AN => AH = AN/2
mà MI = MC/2 ; AN = CM => AH = MI ; AH //MI
=> AMIH là hình bình hành ; K là giao của hai đường chéo MH và AI => K là trung điểm của AI
d) SAMC = MP.AC : 2 = R\(\sqrt{3}\)/2. 3R : 2 = 3\(\sqrt{3}\)R2/4
I là trung điểm của CM => SAIC = SAMC /2 = 3\(\sqrt{3}\)R2/8
+) Xét tam giác OCM có: I; B là trung điểm của CM và OC => BI là đường trung bình
=> OM // BI; OM vuông góc với CM => BI vuông góc với CM
BI = OM/2 = R/2 ; CI = CM/2 = \(\sqrt{3}\)R/2
=> tam giác BIC vuông tại I => SBIC = BI. IC : 2 = \(\sqrt{3}\)R2/8
=> S(AIB) = S(AIC) - S(BIC) = 2\(\sqrt{3}\)R2/8
Mà K là trung điểm của AI => S(AKB) = S(AIB)/2 = \(\sqrt{3}\)R2/8