a: Xet ΔABC vuông tại A co AH là đường cao

nên AH^2=HB*HC

b: BC=3,6+6,4=10cm

\(AH=\sqrt{3.6\cdot6.4}=4.8\left(cm\right)\)

\(AB=\sqrt{3.6\cdot10}=6\left(cm\right)\)

=>AC=8cm

Bài 1:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=5^2-3^2=16\)

hay AC=4cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{3^2}{5}=1.8\left(cm\right)\\CH=\dfrac{4^2}{5}=3.2\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot5=3\cdot4=12\)

hay AH=2,4cm

Bài 2: 

Ta có: BC=HB+HC

nên BC=3,6+6,4

hay BC=10cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=3.6\cdot10=36\\AC^2=6.4\cdot10=64\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=6\left(cm\right)\\AC=8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=6^2-3.6^2=23.04\)

hay AH=4,8cm

a, \(BC=BH+CH=10\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{BH\cdot BC}=6\left(cm\right)\\AC=\sqrt{CH\cdot BC}=8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\approx\sin53^0\Rightarrow\widehat{B}\approx53^0\\ \Rightarrow\widehat{C}\approx90^0-53^0=37^0\)

b, Vì \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\) nên AMHN là hcn

Do đó \(MN=AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL: \(AM\cdot MB=HM^2;AN\cdot NC=HN^2\)

Áp dụng PTG: \(HM^2+HN^2=MN^2=AH^2\)

Vậy \(AM\cdot MB+AN\cdot NC=AH^2\) 

a: BC=BH+CH

=3,6+6,4=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(AB^2=3,6\cdot10=36=6^2\)

=>AB=6(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>AC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

c: ΔHEB vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên ME=MH

=>ΔMEH cân tại M

=>\(\hat{MEH}=\hat{MHE}\)

mà \(\hat{MHE}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, HE//AC)

nên \(\hat{MEH}=\hat{ACB}\)

Ta có: ΔHFC vuông tại F

mà FN là đường trung tuyến

nên NF=NH

=>ΔNFH cân tại N

=>\(\hat{NFH}=\hat{NHF}\)

mà \(\hat{NHF}=\hat{CBA}\) (hai góc đồng vị)

nên \(\hat{NFH}=\hat{CBA}\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{EFH}=\hat{EAH}=\hat{BAH}\) và \(\hat{FEH}=\hat{FAH}=\hat{HAC}\)

\(\hat{NFE}=\hat{NFH}+\hat{EFH}\)

\(=\hat{HBA}+\hat{HAB}=90^0\)

=>NF⊥FE tại F

\(\hat{MEF}=\hat{MEH}+\hat{FEH}\)

\(=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

=>ME⊥ EF tại E

mà NF⊥FE tại F

nên MEFN là hình thang vuông

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC

=>AB^2=3,6*10=36

=>AB=6cm

Xét ΔABC vuông tại A có

sin ACB=AB/BC=3/5

=>góc ACB=37 độ

b: ΔABM vuông tại A có AK là đường cao

nên BK*BM=BA^2

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên BH*BC=BA^2

=>BK*BM=BH*BC

=>BK/BC=BH/BM

=>ΔBKH đồng dạng với ΔBCM

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC

=>AB^2=3,6*10=36

=>AB=6cm

Xét ΔABC vuông tại A có

sin ACB=AB/BC=3/5

=>góc ACB=37 độ

b: ΔABM vuông tại A có AK là đường cao

nên BK*BM=BA^2

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên BH*BC=BA^2

=>BK*BM=BH*BC

=>BK/BC=BH/BM

=>ΔBKH đồng dạng với ΔBCM