a) Đặt A = 2018⁴ⁿ + 2019⁴ⁿ + 2020⁴ⁿ

= (2018⁴)ⁿ + (2019⁴)ⁿ + (2020⁴)ⁿ

= (....6)ⁿ + (....1)ⁿ + (....0)ⁿ

= (...6) + (...1) + (...0) = (....7) 

=> A không là số chính phương

b) Đặt 1995 + n = a² (1) 

2014 + n = b² (2)

a;b \(\inℤ\)

=> (2004 + n) - (1995 + n) = b² - a²

=> b² - a² = 9

=> b² - ab + ab - a² = 9

=> b(b - a) + a(b - a) = 9

=> (b + a)(b - a) = 9

Lập bảng xét các trường hợp

Từ a;b tìm được thay vào (1)(2) ta được 

n = -1979 ; n = -2014 ; 

\(n^2+4n+1265\) là số chính phương

=>\(n^2+4n+4+1261=k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(\left(n+2\right)^2-k^2=-1261\)

=>(n+2-k)(n+2+k)=-1261

=>(n+2-k;n+2+k)∈{(1;-1261);(-1261;1);(-1;1261);(1261;-1);(13;-97);(-97;13);(-13;97);(97;-13)}

TH1: n+2-k=1 và n+2+k=-1261

=>n+2-k+n+2+k=1-1261

=>2n+4=-1260

=>2n=-1264

=>\(n=-\frac{1264}{2}=-632\) (loại)

TH2: n+2-k=-1261 và n+2+k=1

=>n+2-k+n+2+k=1-1261

=>2n+4=-1260

=>2n=-1264

=>\(n=-\frac{1264}{2}=-632\) (loại)

TH3: n+2-k=-1 và n+2+k=1261

=>n+2-k+n+2+k=-1+1261

=>2n+4=1260

=>2n=1260-4=1256

=>n=628(nhận)

TH4: n+2-k=1261 và n+2+k=-1

=>n+2-k+n+2+k=-1+1261

=>2n+4=1260

=>2n=1260-4=1256

=>n=628(nhận)

TH5: n+2-k=13 và n+2+k=-97

=>n+2-k+n+2+k=13-97

=>2n+4=-84

=>2n=-88

=>n=-44(loại)

TH6: n+2-k=-97 và n+2+k=13

=>n+2-k+n+2+k=13-97

=>2n+4=-84

=>2n=-88

=>n=-44(loại)

TH7: n+2-k=-13 và n+2+k=97

=>n+2-k+n+2+k=-13+97

=>2n+4=84

=>2n=80

=>n=40(nhận)

TH8: n+2-k=97 và n+2+k=-13

=>n+2-k+n+2+k=-13+97

=>2n+4=84

=>2n=80

=>n=40(nhận)

phản chứng : tìm n để cái trên là số c/p => ..

 Đặt \(n+1=k^2\left(k\inℕ,k\ge2\right)\) (1) và \(4n+29=l^2\left(l\inℕ,l\ge6\right)\) (2)

(1) \(\Leftrightarrow4n+4=4k^2\) (3)

Từ (2) và (3) \(\Rightarrow l^2-4k^2=25\) \(\Leftrightarrow\left(l-2k\right)\left(l+2k\right)=25\)

Do \(l+2k>0\Rightarrow l-2k>0\). Lại có \(l-2k< l+2k\) nên ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}l-2k=1\\l+2k=25\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=6\\l=13\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1=36\\4n+29=169\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow n=35\) (thỏa)

Vậy \(n=35\) là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn ycbt.