\(E=\frac{9^{11}-9^{10}-9^9}{639}\)

\(E=\frac{9^9\left(9^2-9-1\right)}{639}\)

\(E=\frac{9^2.71}{639}\)

\(E=\frac{9^2.71}{9.71}\)

\(E=9\)

Vậy E là 1 số tự nhiên

bài 1:

ta có \(\frac{1}{1!}=1\)

\(\frac{1}{2!}=\frac{1}{1\cdot2}\)

\(\frac{1}{3!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}=\frac{1}{2\cdot3}\)

bắt đầu từ đây ta giảm mẫu số:

\(\frac{1}{4!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}<\frac{1}{3\cdot4}\)

... tới \(\frac{1}{2012!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot2011\cdot2012}<\frac{1}{2011\cdot2012}\)

thay vào biểu thức S

=> \(S<1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{2011\cdot2012}\)

áp dụng công thức: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

=> \(S=1+1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)

\(S<2-\frac{1}{2012}\)

mà \(\frac{1}{2012}>0\)

=> \(S<2\)

bài 2:

Ta có công thức: \(\frac{1}{\left(n+1\right)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{\left(n+1\right)!}\)

=> \(\frac{9}{10!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}\)

\(\frac{10}{11!}=\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}\)

\(\frac{11}{12!}=\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}\)

... tới: \(\frac{99}{100!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)

thay vào biểu thức ta gọi biểu thức là A

\(A=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\cdots+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)

A=\(\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)

mà \(\frac{1}{100!}>0\Rightarrow\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}<\frac{1}{9!}\)

vậy \(A<\frac{1}{9!}\)

\(\frac{9^{11}-9^{10}-9^9}{639}\)

\(=\frac{9^9\left(9^2-9-1\right)}{639}\)

\(=\frac{9^8\left(9^2-9-1\right)}{71}\)

\(=\frac{9^8.71}{71}\)

\(=9^8\)

\(\frac{\left(5^4-5^3\right)^3}{125^4}\)

\(\frac{\left[5^3.4\right]^3}{125^4}\)

\(\frac{5^9.4^3}{5^{12}}\)

\(\frac{4^3}{5^3}\)

a)

\(7^6+7^5-7^4\)

\(=7^4\cdot\left(7^2+7-1\right)\)

\(=7^4\cdot55⋮55\left(đpcm\right)\)

Mấy câu kia tương tự, dài quá 

\(a,7^6+7^5-7^4⋮55\)

\(7^4\left(7^2+7-1\right)⋮55\)

\(7^4\times55⋮55\left(dpcm\right)\)

\(8^{12}-2^{33}-2^{30}\)

\(=8^{12}-\left(2^3\right)^{11}-\left(2^3\right)^{10}\)

\(=8^{12}-8^{11}-8^{10}\)

\(=8^{10}\left(8^2-8-1\right)\)

\(=8^{10}\times55⋮55\left(dpcm\right)\)

khôn vãi

ko có số tự nhiên n

10²⁰⁰⁶ +53 = 1000.....00053 có tổng các chữ số = 1 +0+0+...+0+5+3 = 9 chia hết cho 9

Nên 10²⁰⁰⁶ +53 chia hết cho 9. Hay nói cách khác kết quả của phép chia là 1 số tự nhiên