a: Xét ΔADM vuông tại D và ΔABN vuông tại B có

AD=AB

DM=BN

Do đó: ΔADM=ΔABN

=>AM=AN

b: ΔADM=ΔABN

=>\(\hat{DAM}=\hat{BAN}\)

=>\(\hat{DAM}+\hat{MAB}=\hat{BAN}+\hat{MAB}\)

=>\(\hat{MAN}=\hat{BAD}=90^0\)

ΔAMN vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên AO=MN/2=MO=NO

mà AO=OK

nên OA=OK=OM=ON

Xét tứ giác AMKN có

O là trung điểm chung của AK và MN

=>AMKN là hình bình hành

Hình bình hành AMKN có AM=AN

nên AMKN là hình thoi

Hình thoi AMKN có AM⊥ AN

nên AMKN là hình vuông

Áp dụng định nghĩa và giả thiết của hình vuông ABCD ta được:

⇒ Δ ABM = Δ ADN( g - c - g )

Do đó AM = AN (cặp cạnh tương ứng bằng nhau)

a: Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

\(BF=FC=\frac{BC}{2}\)

\(DP=PC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=BC=CD

nên AE=EB=BF=FC=DP=PC

Xét tứ giác AECP có

AE//CP

AE=CP

Do đó: AECP là hình bình hành

b: AECP là hình bình hành

=>AP//CE

=>PN//CM

Xét ΔDMC có

P là trung điểm cua DC

PN//MC

Do đó: N là trung điểm của DM

c: Xét ΔADP vuông tại D và ΔDCF vuông tại C có

AD=DC

DP=CF

Do đó: ΔADP=ΔDCF

=>\(\hat{DPA}=\hat{CFD}\)

mà \(\hat{CFD}+\hat{CDF}=90^0\) (ΔCDF vuông tại C)

nên \(\hat{DPA}+\hat{CDF}=90^0\)

=>AP⊥DF tại N

d: \(S_{BCE}=\frac12\cdot BC\cdot BE=\frac12\cdot BC\cdot\frac12\cdot BA=\frac14\cdot BA^2=\frac14\cdot S_{ABCD}\)

\(=\frac14\cdot25=6,25\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a/ Tam giác BMD vuông tại B có BI là trung tuyến nên IB=MD/2=ID lại có CB = CD
=> IC là đường trung trực của đoạn thẳng BD
=> IC qua trung điểm O của BD hay I,O,C thẳng hàng.
Mặt khác: A,O,C thẳng hàng (O là trung điểm AC)
Vậy A,O,I,C thẳng hàng.
b/ Ta có: AFD = CID (cùng bù với góc AID)
Tứ giác CDIE nội tiếp (tổng hai góc đối I + C = 180 độ)
=> góc CID = CED (2 đỉnh kề cùng nhìn cạnh CD dưới góc bằng nhau).
Do đó: góc AFD = CED.
c/ Tự chứng minh tam giác AFD = tam giác CED => DF = DE
EF là trung trực của đoạn thẳng MD => DF = FM và DE = EM
Từ đó suy ra DF=FM=EM=DE => DEMF là hình thoi (1)
=> DI là phân giác của góc EDF.
Tứ giác CDIE nội tiếp (tổng hai góc đối I + C = 180 độ)
=> góc IDE = góc ICE = 45 độ => Góc EDF = 2.IDE = 90 độ (2)
Từ (1) và (2) => DEMF là hình vuông.

bvczakk

a: Xét tứ giác BMDP có

BM//DP

BM=DP

=>BMDP là hình bình hành

b: Xet ΔADH có P là trung điểm của AD và PQ//DH

=>Q là trung điểm của AH

ΔABP=ΔDAN

=>góc ABP=góc DAN

=>góc ABP+góc BAQ=90 độ

=>ΔABQ vuông tại Q

=>BQ vuông góc AH

=>ΔBAH cân tại B

=>BA=BH

a: Xét tứ giác ADKE có

AE//DK

AE=DK

góc EAD=90 độ

=>ADKE là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AECK có

AE//CK

AE=CK

=>AECK là hình bình hành

=>AK//EC

=>AK vuông góc DM