\(\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}=\frac{a^4}{abc}+\frac{b^4}{abc}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2abc}\ge\frac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2abc}=\frac{a^2+b^2}{c}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

viết các bđt tương tự rồi cộng vế theo vế là được

Cho $a, b, c > 0$. Đặt $P = \frac{a}{a+2b+2c} + \frac{b}{2a+b+2c} + \frac{c}{2a+2b+c}$.

Ta cần chứng minh: $\frac{3}{5} \le P < 1$.

* Chứng minh $P \ge \frac{3}{5}$:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức:

$P = \frac{a^2}{a(a+2b+2c)} + \frac{b^2}{b(2a+b+2c)} + \frac{c^2}{c(2a+2b+c)}$

$\ge \frac{(a + b + c)^2}{a(a+2b+2c) + b(2a+b+2c) + c(2a+2b+c)}$

Rút gọn mẫu thức:

$a(a+2b+2c) + b(2a+b+2c) + c(2a+2b+c)$

$= a^2 + 2ab + 2ac + 2ab + b^2 + 2bc + 2ac + 2bc + c^2$

$= a^2 + b^2 + c^2 + 4ab + 4bc + 4ca$

$= (a + b + c)^2 + 2(ab + bc + ca)$

Ta có bất đẳng thức quen thuộc: $ab + bc + ca \le \frac{(a + b + c)^2}{3}$

Do đó mẫu thức:

$(a + b + c)^2 + 2(ab + bc + ca) \le (a + b + c)^2 + 2 \cdot \frac{(a + b + c)^2}{3} = \frac{5}{3}(a + b + c)^2$

Suy ra: $P \ge \frac{(a + b + c)^2}{\frac{5}{3}(a + b + c)^2} = \frac{3}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$.

Vì $a, b, c > 0$ nên:

$a + 2b + 2c > a + b + c \Rightarrow \frac{a}{a+2b+2c} < \frac{a}{a+b+c}$

$2a + b + 2c > a + b + c \Rightarrow \frac{b}{2a+b+2c} < \frac{b}{a+b+c}$

$2a + 2b + c > a + b + c \Rightarrow \frac{c}{2a+2b+c} < \frac{c}{a+b+c}$

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên:

$P < \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{a+b+c}$

$\Rightarrow P < \frac{a + b + c}{a + b + c} = 1$

Vậy $\frac{3}{5} \le \frac{a}{a+2b+2c} + \frac{b}{2a+b+2c} + \frac{c}{2a+2b+c} < 1$ (điều phải chứng minh).

Ngược dấu rồi

Mk sửa r đó. H giúp mk vs. Cảm ơn

Trả lời hộ mình đi

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Tương tự ta cũng có: 

\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

Mà: \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\)\(\frac{ab}{ab^2+abc+ab}+\frac{b}{bca+ab+b}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Ta có :\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\)\(>=2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

tương tự ta được \(b^2+2c^2+3>=2\left(bc+c+1\right)\)

                          \(c^2+2a^2+3>=2\left(ac+a+1\right)\)

theo đề bài abc=1

=> \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\)=\(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+ab+1}+\frac{b}{ab+b+1}\)=1

=> VT<=1/2 

Dấu bằng khi a=b=c=1

Ta có :$a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2$a2+2b2+3=(a2+b2)+(b2+1)+2$>=2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)$>=2ab+2b+2=2(ab+b+1)

tương tự ta được $b^2+2c^2+3>=2\left(bc+c+1\right)$b2+2c2+3>=2(bc+c+1)

                          $c^2+2a^2+3>=2\left(ac+a+1\right)$c2+2a2+3>=2(ac+a+1)

theo đề bài abc=1

=> $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}$1ab+b+1 +1bc+c+1 +1ca+a+1 =$\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+ab+1}+\frac{b}{ab+b+1}$1ab+b+1 +abb+ab+1 +bab+b+1 =1

=> VT<=1/2 

Dấu bằng khi a=b=c=1