Dùng phương pháp chặn :

x \(\le\) y \(\le\) z \(\Rightarrow\) x² \(\le\) y² \(\le\) z² \(\Rightarrow\) x² + y² + z² \(\le\) 3z² 

\(\Rightarrow\) 3z² \(\ge\) 34 \(\Leftrightarrow\) z² \(\ge\) 34/3  (1)

x² + y² + z²  = 34 mà x,y,z \(\in\) N \(\Rightarrow\) z² \(\le\) 34 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có : 

34/3  \(\le\) z² \(\le\)  34 

\(\Rightarrow\) z² \(\in\) { 16; 25}

vì z \(\in\) N\(\Rightarrow\) z \(\in\) { 4; 5}

th1 Z = 4 ta có :

x² + y² + 16 = 34

x² + y² = 12 

x \(\le\) y \(\Rightarrow\) x² \(\le\)y² \(\Rightarrow\) x² + y² \(\le\) 2y² \(\Rightarrow\) 12 \(\le\)2y² \(\Rightarrow\) y² \(\ge\) 6 (*)

x² + y² = 12 \(\Rightarrow\) y² \(\le\) 12 (**)

Kết hợp (*) và (**) ta có :

6 \(\le\) y² \(\le\) 12 \(\Rightarrow\) y² = 9 vì y \(\in\) N\(\Rightarrow\) y = 3

với y = 3 ta có : x² + 3² = 12 \(\Rightarrow\) x² = 12-9 = 3 \(\Rightarrow\) x = +- \(\sqrt{3}\)(loại vì x \(\in\) N)

th2 : z = 5 ta có :

x² + y² + 25 = 34

\(\Rightarrow\) x² + y² = 34 - 25  = 9

x \(\le\) y \(\Rightarrow\) x² \(\le\) y² \(\Rightarrow\) x² + y² \(\le\)2y² \(\Rightarrow\) 2y² \(\ge\) 9 \(\Rightarrow\) y² \(\ge\) 9/2 (a)

x² + y² = 9 \(\Rightarrow\) y² \(\le\) 9 (b)

Kết hợp (a) và (b) ta có :

9/2 \(\le\) y² \(\le\) 9 \(\Rightarrow\) y² = 9 vì y \(\in\) N \(\Rightarrow\) y = 3

với y = 3 \(\Rightarrow\) x² + 3² = 9 \(\Rightarrow\) x² = 0 \(\Rightarrow\) x = 0

kết luận (x; y; z) =( 0; 3; 5) là nghiệm duy nhất thỏa mãn pt 

Đề lỗi công thức rồi. Bạn xem lại.

\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{49}{16}\)

\(M_{min}=\dfrac{49}{16}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}};\dfrac{2}{\sqrt{14}};\dfrac{2}{\sqrt{7}}\right)\)

cm bn

\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{7}{4}\)

\(M_{min}=\dfrac{7}{4}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{2}};1\right)\)

 Nguyễn Việt Lâm anh oiiiiiiiiiii

a/

$x^2+y^2+z^2=3$

$F=\dfrac{x^2+1}{z+2}+\dfrac{y^2+1}{x+2}+\dfrac{z^2+1}{y+2}$

$\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+6}\qquad (\text{Titu})$

Đặt $t=x+y+z$.

Ta có $t^2\le 3(x^2+y^2+z^2)=9$

$\Rightarrow t\le 3$.

Xét $f(t)=\dfrac{t^2}{t+6}$ thì $f'(t)=\dfrac{t(t+12)}{(t+6)^2}>0$ nên $f(t)$ tăng trên $(0,+\infty)$.

Mặt khác $t\ge \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt3$.

Suy ra $F\ge f(\sqrt3)=\dfrac{3}{6+\sqrt3}$ $=\dfrac{6-\sqrt3}{11}$.

Dấu bằng khi $x=y=z=1$.

$\boxed{\min F=\dfrac{6-\sqrt3}{11}}$.

b/

Đặt $S=\sqrt{\dfrac{a}{a+3}}+\sqrt{\dfrac{b}{b+3}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+3}}.$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, $S^2\le (a+b+c)\left(\dfrac1{a+3}+\dfrac1{b+3}+\dfrac1{c+3}\right)$.

Lại có $(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)=9$

$\Rightarrow a+b+c\ge 3$.

Theo bất đẳng thức Nesbitt dạng Engel,

$\dfrac1{a+3}+\dfrac1{b+3}+\dfrac1{c+3}\le \dfrac1{6}(3)=\dfrac12.$

Do đó $S^2\le \dfrac32$

$\Rightarrow S\le \sqrt{\dfrac32}<\dfrac32$.

Suy ra $\sqrt{\dfrac{a}{a+3}}+\sqrt{\dfrac{b}{b+3}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+3}}\le \dfrac32.$

Với mọi x;y;z ta luôn có:

\(\left(x+y-1\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-2x-2y+1+z^2-z+\dfrac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+\dfrac{5}{4}+2xy-2x-2y-z\ge0\)

\(\Leftrightarrow2+2xy-2x-2y\ge z\)

\(\Leftrightarrow2\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

cho \(x,y,z\ge0\) thỏa mãn \(x y z=6\). tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(A=x^2 y^2 z^2\) - Hoc24

thanks bạn nha