a: Vì A,B,D,C cùng nằm trên (O)

nên ABDC nội tiếp

b: Xét (D) có

MB,MF là tiếp tuyến

=>MB=MF

Xét (D) có

NF,NC là tiếp tuyến

=>NF=NC

=>MB+CN=MF+NF=MN

a: Xét tứ giác MCOD có \(\widehat{MCO}+\widehat{MDO}=180^0\)

nên MCOD là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔMCA và ΔMBC có 

\(\widehat{MCA}=\widehat{MBC}\)

\(\widehat{AMC}\) chung

Do đó; ΔMCA\(\sim\)ΔMBC

a: góc ACB=góc AEB=1/2*180=90 độ

=>CB vuông góc FA,AE vuông góc FB

góc FCD+góc FED=180 độ

=>FCDE nội tiếp

b: Xét ΔDCA vuông tại C và ΔDEB vuông tại E có

góc CDA=góc EDB

=>ΔDCA đồng dạng với ΔDEB

=>DC/DE=DA/DB

=>DA*DE=DB*DC

⇒ AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Mà ABDC là tứ giác nội tiếp

⇒ AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC.

⇒ tâm O là trung điểm AD.

Vậy tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C là trung điểm AD.

Kiến thức áp dụng

a) Xét tứ giác BCB'C' có 

\(\widehat{BC'C}=\widehat{BB'C}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BC'C}\) và \(\widehat{BB'C}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BC

Do đó: BCB'C' là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a: góc ACB=góc AEB=1/2*180=90  độ

=>CB vuông góc FA,AE vuông góc FB

góc FCD+góc FED=180 độ

=>FCDE nội tiếp

b: Xét ΔDCA vuông tại C và ΔDEB vuông tại E có

góc CDA=góc EDB

=>ΔDCA đồng dạng với ΔDEB

=>DC/DE=DA/DB

=>DA*DE=DB*DC

a: góc ACB=góc AEB=1/2*180=90 độ

=>CB vuông góc FA,AE vuông góc FB

góc FCD+góc FED=180 độ

=>FCDE nội tiếp

b: Xét ΔDCA vuông tại C và ΔDEB vuông tại E có

góc CDA=góc EDB

=>ΔDCA đồng dạng với ΔDEB

=>DC/DE=DA/DB

=>DA*DE=DB*DC

Cho △ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O), 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a/ Chứng minh : B,C,D,E cùng nằm trên một đường tròn .Xác định tâm M của đường tròn này.

b/ Chứng minh : OM // AH

c/ Chứng minh : AB.AE = AC.AD

d/ Gọi K là điểm đối xứng của H qua M .

Sửa đề: AD cắt (O) tại E

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>BC⊥FA tại C

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó ΔAEB vuông tại E

=>AE⊥BF tại E

Xét tứ giác FCDE có \(\hat{FCD}+\hat{FED}=90^0+90^0=180^0\)

nên FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính FD

b: Xét ΔDCA vuông tại C và ΔDEB vuông tại E có

\(\hat{CDA}=\hat{EDB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔDCA~ΔDEB

=>\(\frac{DC}{DE}=\frac{DA}{DB}\)

=>\(DC\cdot DB=DE\cdot DA\)

c: FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính FD

=>I là trung điểm của DF

Gọi K là giao điểm của FD và AB

Xét ΔFAB có

AE,BC là các đường cao

AE cắt BC tại D

Do đó: D là trực tâm của ΔFAB

=>FD⊥AB tại K

Ta có: IC=ID

=>ΔICD cân tại I

=>\(\hat{ICD}=\hat{IDC}\)

mà \(\hat{IDC}=\hat{KDB}\) (hai góc đối đỉnh)

và \(\hat{KDB}=\hat{CAB}\left(=90^0-\hat{CBA}\right)\)

nên \(\hat{ICD}=\hat{CAB}\)

ΔOBC cân tại O

=>\(\hat{OCB}=\hat{OBC}=\hat{CBA}\)

\(\hat{OCI}=\hat{OCD}+\hat{ICD}\)

\(=\hat{CBA}+\hat{CAB}=90^0\)

=>IC là tiếp tuyến tại C của (O)