a: Sửa đề: Chứng minh ΔCAD=ΔCMD

Xét ΔCAD và ΔCMD có

CA=CM

\(\hat{ACD}=\hat{MCD}\)

CD chung

Do đó: ΔCAD=ΔCMD

b: ΔCAD=ΔCMD

=>DA=DM

=>D nằm trên đường trung trực của AM(1)

CA=CM

=>C nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1),(2) suy ra CD là đường trung trực của AM

ΔCAD=ΔCMD

=>\(\hat{CAD}=\hat{CMD}\)

=>\(\hat{CMD}=90^0\)

=>DM⊥BC tại M

TA có: AD=DM

mà DM<DB(ΔDMB vuông tại M)

nên AD<DB

c: Ta có: \(\hat{BAN}+\hat{CAN}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{BNA}+\hat{NAH}=90^0\) (ΔNAH vuông tại H)

mà \(\hat{BAN}=\hat{BNA}\) (ΔBAN cân tại B)

nên \(\hat{CAN}=\hat{NAH}\)

=>AN là phân giác của góc HAC

Xét ΔHAC có

AN,CO là các đường phân giác

AN cắt CO tại O

Do đó: O là tâm đường tròn nội tiếp ΔHAC

=>O cách đều ba cạnh của ΔAHC

kéo dài tia MN cắt AC tại K

có KN // BC ( gt)

=> góc AKN= góc ACB ( 2 góc đồng vị)

mà góc ACB = 90 độ ( tam giác ABC vuông tại C)

=> góc AKN = 90 độ

=> AK vuông góc với KN

hay AC vuông góc vs KN

xét tam giác ACN có 

    CD là đường cao ứng  vs cạnh AN ( gt)

   KN là đường cao ứng với cạnh AC ( AC vuông góc vs KN)

mà CD giao với KN tại M

=> M là trực tâm

=> AM là đường cao ứng vs cạnh CN ( t/c)

hay AM vuông góc vs CN(đpcm)

=

thanks

Bài 4:

Xét ΔAED vuông tại E và ΔBFC vuông tại F có

AD=BC

góc D=góc C

Do đó: ΔAED=ΔBFC

=>DE=CF
Bài 3:

a: Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

AC=BD

DC chung

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>góc ACD=góc BDC

b: Ta co: góc ACD=góc BDC

=>góc EAB=góc EBA
=>ΔEAB cân tại E

a) Xét \(\Delta\) DHM và \(\Delta\) DMC:

\(\widehat{MDH}chung.\) 

\(\widehat{DHM}=\widehat{DMC}\left(=90^o\right).\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) DHM \(\sim\) \(\Delta\) DMC \(\left(g-g\right).\)

b) Xét \(\Delta\) ABC cân tại A: AM là đường cao (gt).

\(\Rightarrow\) AM là trung tuyến (Tính chất tam giác cân).

\(\Rightarrow\) M là trung điểm của BC.

Ta có: \(\Delta\) DHM \(\sim\) \(\Delta\) DMC \(\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\dfrac{DH}{DM}=\dfrac{HM}{MC}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ).

\(\Rightarrow DH.MC=DM.HM.\)

Mà \(MC=BM\) (M là trung điểm của BC); \(DM=AD\) (D là trung điểm của AM).

\(\Rightarrow DH.BM=AD.HM.\)

c) Ta có: \(\widehat{HDM}+\widehat{DMH}=90^o\) (Tam giác DHM vuông tại H).

              \(\widehat{HMC}+\widehat{DMH}=90^o\left(=\widehat{DMC}\right).\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{HDM}=\widehat{HMC}.\)

Mà \(\widehat{ADH}+\widehat{HDM}=180^o;\widehat{BMH}+\widehat{HMC}=180^o.\\ \Rightarrow\widehat{ADH}=\widehat{BMH}.\)

Xét \(\Delta\) ADH và \(\Delta\) BMH:

\(\widehat{ADH}=\widehat{BMH}\left(cmt\right).\\ \dfrac{AD}{BM}=\dfrac{DH}{MH}\left(DH.BM=AD.HM\right).\)

\(\Rightarrow\Delta\) ADH \(\sim\Delta\) BMH \(\left(g-g\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{MBH}\) (2 góc tương ứng).

Xét \(\Delta\) AMN và \(\Delta\) BHN:

\(\widehat{N}chung.\)

\(\widehat{MAN}=\widehat{HBN}\left(\widehat{DAH}=\widehat{MBH}\right).\)

\(\Rightarrow\Delta\) AMN \(\sim\) \(\Delta\) BHN \(\left(g-g\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{BHN}=90^o\) (2 góc tương ứng).

Xét \(\Delta\) ABN: 

AM là đường cao \(\left(AM\perp BC\right).\)

BH là đường cao \(\left(\widehat{BHN}=90^o\right).\)

AM cắt BH tại E (gt).

\(\Rightarrow\) E là trực tâm.

\(\Rightarrow\) EN là đường cao.

\(\Rightarrow EN\perp AB.\)

Mình cần gấp lắm làm ơn!