Dấu "=" xảy ra khi x=y=2; ta có : \(\sqrt[3]{8^x.8^x}=\sqrt[3]{64^x}=4^x\)

\(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)

\(8^y+8^y+8^2\ge12.4^y\)

\(8^z+8^z+8^2\ge12.4^z\)

Cộng 3 vế BĐT trên => đpcm

Một cách khác:

Đặt $(2^x,2^y,2^z)=(a,b,c)\Rightarrow abc=2^{x+y+z}=2^6=64$

Bài toán trở thành:

Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=64$. CMR: $a^3+b^3+c^3\geq 4(a^2+b^2+c^2)$

------------------------------

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky và AM-GM:

$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}(1)\)

Mà: \(a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq \frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{abc}}{3}=\frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{64}}{3}=4(a+b+c)(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2).4(a+b+c)}{a+b+c}=4(a^2+b^2+c^2)\) (đpcm)

Vậy.......

Em chỉ biết làm \(\hept{\begin{cases}x+y\ge1\\x^4+y^4\ge\frac{1}{8}\end{cases}}\)thôi ạ :v 

Áp dụng liên tiếp hai lần bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(x^4+y^4\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{\frac{\left(x+y\right)^4}{4}}{2}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=1/2

P/s : Sửa đề : Cho x > y > 1 và x⁵ + y⁵ = x - y . Chứng minh rằng : x⁴ + y⁴ < 1

+)Ta có : x⁴ + y⁴ < x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴

Mà x > y > 1 \( \implies\) x - y > 0 

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) ( * )

+)Ta có : ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) - y ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x⁵ + x⁴y + x³y² + x²y³ + xy⁴ - x⁴y -  x³y² - x²y³ -  xy⁴ - y⁵

            = x⁵ - y⁵

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) = x⁵ - y⁵ ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

\( \implies\)  ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

Mà   x⁵ - y⁵ < x⁵ + y⁵ 

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < x - y 

\( \implies\)  x⁴ + y⁴ < 1 ( đpcm ) 

theo đề bài ta có (x+y)^2>=1

2(x^2+y^2)>=(x+y)^2>=1 

x^2+y^2>=1/2 

(x^2+y^2)^2>=1/4 

2(x^4+y^4)>=(x^2+y^2)^2>=1/4

x^4+y^4>=1/8(đề bạn ghi thiếu thì phải)

x+1/y = 1, ta có: 
+ x=1-1/y (1) 
+ (xy+1)/y=1 => xy+1=y (2) 
y+1/x >=4 
<=> (xy+1)/x >=4 
(1), (2) => y/ (y-1) /y >=4 
<=> y^2/ (y-1) >=4 
<=> y^2 >= 4y -4 
<=> y^2 -4y +4 >=0 
<=> (y-2)^2 >=0 (đúng)

Bạn áp dụng bất đẳng thức sau để giải : 
1/x + 1/y >= 4/(x+y) (cái này thì dẽ chứng mình thôi, dùng cô si cho 2 số đó, tiếp tục dùng cô si dưới mẫu là ra) (*) 

Áp dụng kết quả đó ta có 
1/ (2x +y+z) = 1/(x+ y+z+x) <= 1/4 *[ 1/(x+y) + 1/(y+z)] 
rồ tiếp tục áp dụng kết quả (*) ta lại có 
1/4 *[1/(x+y) + 1/(y+z)] <= 1/16 *( 1/x + 1/y + 1/z + 1/x) 
Tương tự ta có 1/(2y + x +z) <= 1/16 *(1/x+1/y +1/z + 1/y) 
Cái cuối cùng cũng tương tự như vậy 
Cộng lại ba bdt trên ta sẽ có được điều cần chứng minh 

HHuvg

                                                      Bài giải

\(x^5+y^5=x-y\)

\(x^5-x+y^5+y=0\)

\(x\left(x^4-1\right)+y\left(y^4+1\right)=0\)

Đề sai nha !

+)Ta có : x⁴ + y⁴ < x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴

Mà x > y > 1 \( \implies\) x - y > 0 

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) ( * )

+)Ta có : ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) - y ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x⁵ + x⁴y + x³y² + x²y³ + xy⁴ - x⁴y -  x³y² - x²y³ -  xy⁴ - y⁵

            = x⁵ - y⁵

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) = x⁵ - y⁵ ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

\( \implies\)  ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

Mà   x⁵ - y⁵ < x⁵ + y⁵ 

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < x - y 

\( \implies\)  x⁴ + y⁴ < 1 ( đpcm ) 

Ta có:

\(x+\dfrac{4}{x+1}+y+\dfrac{9}{y+1}=\left(x+1+\dfrac{4}{x+1}\right)+\left(y+1+\dfrac{9}{y+1}\right)-2\)

\(\ge2.2+2.3-2=8\)

Vì x,y > 0 nên dấu = không xảy ra.

Vậy ta có ĐPCM