Câu 4:

D và F cùng nhìn AC dưới 1 góc vuông nên tứ giác ACDF nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ADF}=\widehat{ACF}\) (cùng chắn AF)

Tương tự, ABDE nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ADE}\) (cùng chắn AE)

Lại có \(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\) (cùng phụ góc \(\widehat{A}\))

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ADF}\) hay AD là phân giác góc \(\widehat{FDE}\)

./

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có CF là phân giác \(\widehat{DFE}\Rightarrow\widehat{BFD}=\widehat{AFE}\)

Mà \(\widehat{AFE}=\widehat{BFK}\Rightarrow\widehat{BFK}=\widehat{BFD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BK}{BD}=\dfrac{FK}{FD}\) theo định lý phân giác

Đồng thời \(\dfrac{CK}{CD}=\dfrac{FK}{FD}\) (CF là phân giác ngoài góc \(\widehat{DFK}\))

\(\Rightarrow\dfrac{BK}{BD}=\dfrac{CK}{CD}\Rightarrow\dfrac{BK}{CK}=\dfrac{BD}{CD}\)

Qua B kẻ đường thẳng song song AC cắt AK và AD tại P và Q

Theo Talet: \(\dfrac{BK}{CK}=\dfrac{BP}{AC}\) đồng thời \(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BQ}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BP}{AC}=\dfrac{BQ}{AC}\Rightarrow BP=BQ\)

Mặt khác BP song song MF (cùng song song AC)

\(\Rightarrow\dfrac{MF}{BP}=\dfrac{AF}{AB}\) ; \(\dfrac{NF}{BQ}=\dfrac{AF}{AB}\) (Talet)

\(\Rightarrow\dfrac{MF}{BP}=\dfrac{NF}{BQ}\Rightarrow MF=NF\)

Hình vẽ câu 4:

Bài 4: 

a: Xét tứ giác OBAC có 

\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^0\)

Do đó: OBAC là tứ giác nội tiếp

hay O,B,A,C cùng thuộc 1 đường tròn

Bài 5:

\(\sqrt{x+2021}-y^3=\sqrt{y+2021}-x^3\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x+2021}-\sqrt{y+2021}\right)+\left(x^3-y^3\right)=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x-y}{\sqrt{x+2021}+\sqrt{y+2021}}+\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+2021}+\sqrt{y+2021}}+x^2+xy+y^2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y=0\\\dfrac{1}{\sqrt{x+2021}+\sqrt{y+2021}}+x^2+xy+y^2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy \(\left(1\right)>0\) với mọi x,y

Do đó \(x-y=0\) hay \(x=y\)

\(\Leftrightarrow M=x^2+2x^2-2x^2+2x+2022=x^2+2x+1+2021\\ \Leftrightarrow M=\left(x+1\right)^2+2021\ge2021\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=-1\)

Bài 2: 

Ta có: \(3n^3+10n^2-5⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n^3+n^2+9n^2+3n-3n-1-4⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

\(\Leftrightarrow3n\in\left\{0;-3;3\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;-1;1\right\}\)

\(B=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{99}+2^{100}=2\left(1+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2^2+2^3+2^4\right)=2.31+2^6.31+...+2^{96}.31=31\left(2+2^6+...+2^{96}\right)⋮31\)

Cảm ơn bạn/chị nhé ạ!!!Thankyou very much!!!

Chứng minh gì vậy bạn?

=)) Mik chịu á, bạn cứ làm mấy chỗ khác trước và chừa chứng minh cho mik cx đc ạ 

Bài 8:

1: Xét ΔCAB có

A1,B1 lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>A1B1 là đường trung bình của ΔCAB

=>A1B1//AB và \(A_1B_1=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔHAB có

A2,B2 lần lượt là trung điểm của HA,HB

=>A2B2 là đường trung bình của ΔHAB

=>A2B2//AB và \(A_2B_2=\frac{AB}{2}\)

Ta có: A1B1//AB

A2B2//AB

Do đó: A1B1//A2B2

Ta có: \(A_1B_1=\frac{AB}{2}\)

\(A_2B_2=\frac{AB}{2}\)

Do đó: \(A_1B_1=A_2B_2\)

Xét ΔAHC có

A2,B1 lần lượt là trung điểm của AH,AC

=>\(A_2B_1\) là đường trung bình của ΔAHC

=>\(A_2B_1\) //HC và \(A_2B_1=\frac{HC}{2}\)

\(A_2B_1\) //HC

HC⊥AB

Do đó: \(A_2B_1\) ⊥AB

\(A_2B_1\) ⊥AB

AB//\(A_1B_1\)

Do đó: \(A_1B_1\) ⊥\(A_2B_1\)

Xét tứ giác \(A_1B_1A_2B_2\) có

A1B1//A2B2

A1B1=A2B2

Do đó: \(A_1B_1A_2B_2\) là hình bình hành

Hình bình hành \(A_1B_1A_2B_2\) có \(A_1B_1\) ⊥\(A_2B_1\)

nên \(A_1B_1A_2B_2\) là hình chữ nhật

Hình chữ nhật \(A_1B_1A_2B_2\) trở thành hình vuông khi \(A_1B_1\) =\(A_2B_1\)

=>CH/2=AB/2

=>CH=AB

2: Xét ΔABH có

\(A_2;C_1\) lần lượt là trung điểm của AH,AB

=>\(A_2C_1\) là đường trung bình của ΔABH

=>A2C1//BH và A2C1=BH/2

Xét ΔCBH có

A1,C2 lần lượt là trung điểm của CB,CH

=>A1C2 là đường trung bình của ΔCBH

=>A1C2//BH và A1C2=BH/2

A2C1//BH

A1C2//BH

Do đó: \(A_2C_1\) //\(A_1C_2\)

\(A_2C_1=\frac{BH}{2}\)

\(A_1C_2=\frac{BH}{2}\)

Do đó: \(A_2C_1=A_1C_2\)

Xét tứ giác \(A_1C_2A_2C_1\) có

\(A_2C_1\) //\(A_1C_2\)

\(A_2C_1\) =\(A_1C_2\)

Do đó: \(A_1C_2A_2C_1\) là hình bình hành

=>A1A2 cắt C1C2 tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: \(A_1B_1A_2B_2\) là hình chữ nhật

=>A1A2 cắt B1B2 tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra A1A2,B1B2,C1C2 đồng quy tại I

3: Xét ΔAB'B vuông tại B' và ΔAC'C vuông tại C' có

\(\hat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAB'B~ΔAC'C

Xét ΔCB'B vuông tại B' và ΔCA'A vuông tại A' có

\(\hat{BCA}\) chung

Do đó: ΔCB'B~ΔCA'A

Xét ΔBC'C vuông tại C' và ΔBA'A vuông tại A' có

\(\hat{CBA}\) chung

Do đó: ΔBC'C~ΔBA'A

4: ΔAB'B~ΔAC'C

=>\(\frac{AB^{\prime}}{AC^{\prime}}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AB^{\prime}}{AB}=\frac{AC^{\prime}}{AC}\)

Xét ΔAB'C' và ΔABC có

\(\frac{AB^{\prime}}{AB}=\frac{AC^{\prime}}{AC}\)

góc BAC chung

Do đó: ΔAB'C'~ΔABC

3:

1: Gọi tuổi mẹ và tuổi con hiện nay lần lượt là x,y

Theo đề, ta có: x=2,3y và x-16=7,5(y-16)

=>x-2,3y=0 và x-7,5y=-120+16=-104

=>x=46 và y=20

Gọi số năm nữa để tuổi mẹ gấp đôi tuổi con là a

Theo đề, ta có

a+46=2a+40

=>-a=-6

=>a=6

2:

Xe đi 210m trong 30-16=14s

=>V=210/14=15m/s

Chiều dài là:

15*16=240(m)

jfiơèwìiwf

bài 1

TBC TG bạn học 1 ngày là : (80*2+100+60+120+90+0)/7 \(\approx\) 76

Vậy TG bạn học 1 ngày là hơn 75p

2

ko bt nhưng chắc chắn là 1,005²⁰⁰

^{LỚN HƠN NHA}