a: Xét (O) có

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

\(\widehat{BOC}\) là góc ở tâm chắn cung BC

Do đó: \(\widehat{BOC}=2\cdot\widehat{BAC}=90^0\)

b:

Gọi M là giao điểm của BH với CK

Xét ΔHBC vuông tại H có \(\widehat{HBC}+\widehat{HCB}=90^0\)

=>\(\widehat{HBC}=90^0-\widehat{HCB}\)

=>\(\widehat{MBC}=90^0-\widehat{ACB}\)

Xét ΔKBC vuông tại K có \(\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=90^0\)

=>\(\widehat{KCB}=90^0-\widehat{KBC}\)

=>\(\widehat{MCB}=90^0-\widehat{ABC}\)

Xét ΔABC có

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^0\)

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-45^0=135^0\)

Xét ΔMBC có \(\widehat{MBC}+\widehat{MCB}+\widehat{BMC}=180^0\)

=>\(\widehat{BMC}=180^0-\left(\widehat{MBC}+\widehat{MCB}\right)\)

\(=180^0-\left(90^0-\widehat{ABC}+90^0-\widehat{ACB}\right)\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=135^0\)

=>\(\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=45^0\)

Xét (O) có

\(\widehat{CAD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

\(\widehat{CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

Do đó: \(\widehat{CAD}=\widehat{CBD}\)

Xét (O) có

\(\widehat{EAB}\) là góc nội tiếp chắn cung EB

\(\widehat{ECB}\) là góc nội tiếp chắn cung EB

Do đó: \(\widehat{EAB}=\widehat{ECB}\)

\(\widehat{EAB}+\widehat{CAD}=\widehat{ECB}+\widehat{DBC}\)

\(=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=45^0\)

\(\widehat{EAD}=\widehat{EAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAD}\)

\(=45^0+45^0=90^0\)

=>ΔEAD vuông tại A

ΔEAD vuông tại A

nên ΔEAD nội tiếp đường tròn đường kính ED

mà ΔEAD nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của ED

=>E,O,D thẳng hàng

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADHE là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\hat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

=>\(\hat{AOB}=2\cdot\hat{ACB}=100^0\)

Độ dài cung nhỏ AB là:

\(l=\frac{\pi\cdot R\cdot n}{180}=\frac{\pi\cdot2\cdot100}{180}=\frac{10}{9}\pi\)

c: Xét tứ giác BEDC có \(\hat{BEC}=\hat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EBD}=\hat{ECD}\)

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADHE là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác BEDC có \(\hat{BEC}=\hat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

c: Xét (O) có \(\hat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

=>\(\hat{AOB}=2\cdot\hat{ACB}=100^0\)

Độ dài cung nhỏ AB là:

\(l=\frac{\pi\cdot R\cdot n}{180}=\frac{\pi\cdot2\cdot100}{180}=\frac{10\pi}{9}\) (cm)

d:

Kẻ Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

=>Ax⊥ OA tại A

Xét (O) có

\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ADE}\left(=180^0-\hat{EDC}\right)\)

nên \(\hat{xAC}=\hat{ADE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//DE

=>OA⊥DE

a; Xét tam giác ABC nội tiếp (O,R) có AH,BK là 2đường cao => góc AHB=góc BKA=90.

Vì K và H là 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác ABHK 

=> tứ giác ABHK nội tiếp

b,Xét đường tròn (O,R) có góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB 

LẠi có góc AOB là góc ở tâm chắn cung AB 

=>sđ góc AOB=2 sđ góc ACB=2x70=140 độ

=> S quạt OAB=\(\pi\).R^2.n/360=\(\pi\).25.140/360=\(\pi\).175/18 cm2

c,

c, xét tam giác ABC nội tiếp (O,R) có góc BED là góc nội tiếp chắn cung BD

Lại có tứ giác ABHK nội tiếp (cmt) nên góc BKH= góc BAH (cùng chắn cung BH)

Có góc BAD là góc nội tiếp chắn cung BD=> góc BAD=góc BED(cùng chắn cung BD)

=> góc BED=góc BKH mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => HK song song DE

a: Xét tứ giác MIHD có \(\hat{MIH}=\hat{MDH}=\hat{IHD}=90^0\)

nên MIHD là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MI//HC

Do đó: I là trung điểm của AH

=>AI=IH

mà IH=MD(MIHD là hình chữ nhật)

nên AI=IH=MD

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AH

Do đó: D là trung điểm của HC

=>HD=DC

mà HD=IM(MIHD là hình chữ nhật)

nên HD=DC=IM

Xét ΔAMI vuông tại I và ΔMCD vuông tại D có

AM=MC

MI=CD

Do đó: ΔAMI=ΔMCD

Xét tứ giác AIDM có

AI//DM

AI=DM

Do đó: AIDM là hình bình hành