Ta có: \(P=\frac{2m+1}{4m^2+2}\)

=>\(P\left(4m^2+2\right)=2m+1\)

=>\(m^2\cdot4P-2m+2P-1=0\) (1)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot4P\left(2P-1\right)=4-16P\left(2P-1\right)=4-32P^2+16P\)

\(=4\left(-8P^2+_{}4P+1\right)=4\cdot\left(-8\right)\left(P^2-\frac12P-\frac18\right)=-32\left(P^2-\frac12P-\frac18\right)\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm thì Δ>=0

=>\(-32\left(P^2-\frac12P-\frac18\right)>=0\)

=>\(P^2-\frac12P-\frac18\le0\)

=>\(P^2-\frac12P+\frac{1}{16}-\frac{3}{16}\le0\)

=>\(\left(P-\frac14\right)^2\le\frac{3}{16}\)

=>\(-\frac{\sqrt3}{4}\le P-\frac14\le\frac{\sqrt3}{4}\)

=>\(\frac{-\sqrt3+1}{4}\le P\le\frac{\sqrt3+1}{4}\)

=>GTNN của P là \(\frac{-\sqrt3+1}{4}\)

Thay \(P=\frac{-\sqrt3+1}{4}\) vào (1), ta được:

\(m^2\cdot\left(-\sqrt3+1\right)-2m+2\cdot\frac{-\sqrt3+1}{4}-1=0\)

=>\(m^2\cdot\left(-\sqrt3+1\right)-2m+\left(\frac{-\sqrt3+1}{2}\right)-1=0\)

=>\(m^2\left(-\sqrt3+1\right)-2m+\frac{-\sqrt3-1}{2}=0\) (2)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot\frac{\left(-\sqrt3+1\right)\left(-\sqrt3-1\right)}{2}\)

\(=4-2\left(-\sqrt3-1\right)\left(-\sqrt3+1\right)=4-2\left(\sqrt3-1\right)\left(\sqrt3+1\right)=4-2\left(3-1\right)=4-2\cdot2=0\)

=>Phương trình (2) có một nghiệm duy nhất là:

\(m=\frac{2}{2\left(-\sqrt3+1\right)}=\frac{1}{-\sqrt3+1}=\frac{-1}{\sqrt3-1}=\frac{-\sqrt3-1}{2}\)

A = \(\left(m^2-4mp+4p^2\right)+10\left(m-2p\right)+25+\left(p^2-2p+1\right)+2\)

  \(=\left(m-2p\right)^2+2.5.\left(m-2p\right)+5^2+\left(p-1\right)^2+2\)

  \(=\left(m-2p+5\right)^2+\left(p-1\right)^2+2\ge2\)

Vậy: A min = 2 \(\Leftrightarrow m=-3;p=1\)

- Gọi \(x_1\) là một nghiệm của phương trình (1). Khi đó ta có:

\(x_1^2-2mx_1+4m=0\left(1'\right)\).

Vì phương trình (2) có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm của phương trình (1) nên \(2x_1\) là một nghiệm của phương trình (2). Do đó:

\(\left(2x_1\right)^2-m.\left(2x_1\right)+10m=0\)

\(\Rightarrow4x_1^2-2mx_1+10m=0\left(2'\right)\)

Thực hiện phép tính \(4.\left(1'\right)-\left(2'\right)\) vế theo vế ta được:

\(4x_1^2-8mx_1+16m-\left(4x_1^2-2mx_1+10m\right)=0\)

\(\Rightarrow-6mx_1+6m=0\)

\(\Rightarrow6m\left(-x_1+1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\x_1=1\end{matrix}\right.\)

*Với \(x_1=1\). Vì \(x_1=1\) là 1 nghiệm của phương trình (1) nên:

\(1^2-2m.1+4m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Thử lại ta có \(m=0\) hay \(m=-\dfrac{1}{2}\).

Ta có:\(p=\left(m^2-4mn+4n^2\right)+\left(10m-20n\right)+25+\left(n^2-2n+1\right)+6\)

\(\Rightarrow p=\left(m-2n\right)^2+2.5\left(m-2n\right)+5^2+\left(n-1\right)^2+6\)

\(\Rightarrow p=\left(m-2n+5\right)^2+\left(n-1\right)^2+6\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}m-2n+5=0\\n-1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=-3\\n=1\end{cases}}\)

Vậy GTNN của p=6 khi m=-3  ;  n=1