Trong ΔABC, ta có: MN // BC (gt)

Suy ra: 

Suy ra: 

Vậy NC = AC – AN = 18 – 12 = 6(cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AMN, ta có:

M N 2 = A M 2 + A N 2 = 16 2 + 12 2  = 400

MN = 20cm

Trong ΔABC, ta có: MN // BC (gt)

Suy ra:

Vậy:

Hình bạn tự vẽ nhé

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác AMN vuông tại A ta được:

\(AM^2+AN^2=MN^2\)

\(400=MN^2\)

\(\Rightarrow MN=20\)

Xét tam giác AMN có BC//MN

\(\Rightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}\)( Hệ qua của định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}=\frac{20}{BC}=\frac{12}{AC}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BC=30\left(cm\right)\\AC=18\left(cm\right)\end{cases}}\)

Ta có: AN+NC=AC ( h.vẽ)

\(\Rightarrow NC=6\)(cm)

Vậy ...

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=20^2-12^2=400-144=256=16^2\)

=>AC=16(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)

=>\(AH=\frac{192}{20}=9,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có sin ABC\(=\frac{AC}{BC}=\frac{16}{20}=\frac45\)

nên \(\hat{ABC}\) ≃53 độ

b:

Sửa đề: \(AN\cdot AC=AC^2-HC^2\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(1\right)\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AC^2=HA^2+HC^2\)

=>\(AC^2-HC^2=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AN\cdot AC=AC^2-HC^2\)

c: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>AH=MN

AMHN là hình chữ nhật

=>\(HA^2=HM^2+HN^2\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(MA\cdot MB=HM^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(NA\cdot NC=HN^2\)

Ta có: \(HA^2=HM^2+HN^2\)

=>\(HA^2=MA\cdot MB+NA\cdot NC\)

dap so 10/2/3

a) Do MN//AB nên theo Đl Ta-let ta có AM/MB=AN/NC

=>2/3=AN/9 => AN=6cm

khi đó NC= AC-NA = 9-6= 3cm

b) Áp dụng tính chất đường p/g trong tam giác ta có BD/AB=DC/AC

Do BD+DC = BC = 10cm

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 

BD/AB = DC/AC = (BD+DC)/(AB+AC) = 10/15 = 2/3

Do đó DB/6 = 2/3 => DB = 4 cm

 DC/9 =2/3 => DC = 6cm

Vậy DB = 4 cm, DC = 6 cm

Xét ΔABC có MN//BC

nên AM/AB=AN/AC

=>AN/20=4/20=1/5

nên AN=4(cm)