TH1 3m-1/2n là dương suy ra 3m-1 chia hết cho 2n

Để 3m-1 chia hết cho 2n suy ra 3m-1 là chẵn

                                           suy ra 3m là lẻ

                                           suy ra m là lẻ  và n có thể là bất kì số nào(n,m thuộc N)

TH2     

3n-1/2m là dương suy ra 3n-1 chia hết cho 2m

Để 3n-1 chia hết cho 2m suy ra 3n-1 là chẵn

                                           suy ra 3n là lẻ

                                           suy ra n là lẻ  và m có thể là bất kì số nào(n,m thuộc N)

vậy n,m là lẻ

THỬ lại đi sai rùi

khổ qua hya là xem trên mạng ý

a cần tìm các số nguyên dương \(m\) và \(n\) sao cho:

\(A = \frac{3 m - 1}{2 n} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} B = \frac{3 n - 1}{2 m}\)

đều là các số nguyên dương.

Bước 1: Phân tích điều kiện

Ta có:

• \(A = \frac{3 m - 1}{2 n} \in \mathbb{Z}^{+}\)
• \(B = \frac{3 n - 1}{2 m} \in \mathbb{Z}^{+}\)

Suy ra:

• \(2 n \mid \left(\right. 3 m - 1 \left.\right)\) hay \(3 m - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 2 n \left.\right)\)
• \(2 m \mid \left(\right. 3 n - 1 \left.\right)\) hay \(3 n - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 2 m \left.\right)\)

Bước 2: Dùng thử vài giá trị nhỏ

Thử với \(m = 1\):

• \(A = \frac{3 \left(\right. 1 \left.\right) - 1}{2 n} = \frac{2}{2 n} = \frac{1}{n}\) → không nguyên trừ khi \(n = 1\)
• • Nếu \(m = 1 , n = 1\) ⇒ \(A = \frac{2}{2} = 1\), \(B = \frac{2}{2} = 1\) ✅

Thử \(m = 2\):

• \(A = \frac{6 - 1}{2 n} = \frac{5}{2 n}\)
• • Không nguyên trừ khi \(2 n = 1\) hoặc 5 ⇒ không có \(n \in \mathbb{Z}^{+}\) phù hợp

Thử \(m = 3\):

• \(A = \frac{9 - 1}{2 n} = \frac{8}{2 n} = \frac{4}{n}\)
• • Để nguyên ⇒ \(n \in \left{\right. 1 , 2 , 4 \left.\right}\)

Thử với các giá trị \(n\) trên:

• \(n = 1\): \(B = \frac{3 \left(\right. 1 \left.\right) - 1}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) ❌
• \(n = 2\): \(B = \frac{6 - 1}{6} = \frac{5}{6}\) ❌
• \(n = 4\): \(B = \frac{12 - 1}{6} = \frac{11}{6}\) ❌

Không thỏa mãn.

Quay lại với cặp đúng đã tìm được:

\(\left(\right. m , n \left.\right) = \left(\right. 1 , 1 \left.\right) \Rightarrow A = 1 , B = 1 (đ \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{d}ưo\text{ng})\)

Bước 3: Giả sử \(A = a , B = b \in \mathbb{Z}^{+}\)

Từ:

\(\frac{3 m - 1}{2 n} = a \Rightarrow 3 m - 1 = 2 a n \Rightarrow 3 m = 2 a n + 1 \Rightarrow m = \frac{2 a n + 1}{3}\)

Tương tự:

\(\frac{3 n - 1}{2 m} = b \Rightarrow 3 n - 1 = 2 b m \Rightarrow 3 n = 2 b m + 1 \Rightarrow n = \frac{2 b m + 1}{3}\)

Thế \(m\) từ biểu thức 1 vào biểu thức 2:

\(n = \frac{2 b \cdot \left(\right. \frac{2 a n + 1}{3} \left.\right) + 1}{3} = \frac{\frac{4 a b n + 2 b}{3} + 1}{3} = \frac{4 a b n + 2 b + 3}{9}\)

Đặt \(x = n\), phương trình:

\(x = \frac{4 a b x + 2 b + 3}{9} \Rightarrow 9 x = 4 a b x + 2 b + 3 \Rightarrow x \left(\right. 9 - 4 a b \left.\right) = 2 b + 3\)

⇒ \(x = \frac{2 b + 3}{9 - 4 a b}\)

Để \(x = n \in \mathbb{Z}^{+}\), mẫu phải chia hết tử ⇒ xét vài giá trị \(a , b\)

Thử \(a = 1 , b = 1\):

\(x = \frac{2 \left(\right. 1 \left.\right) + 3}{9 - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{5}{5} = 1 \Rightarrow n = 1 \Rightarrow m = \frac{2 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. 1 \left.\right) + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1\)

✅ Đúng rồi.

Các cặp khác?

Thử \(a = 2 , b = 1\):

\(x = \frac{2 \left(\right. 1 \left.\right) + 3}{9 - 4 \left(\right. 2 \left.\right) \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{5}{9 - 8} = \frac{5}{1} = 5 \Rightarrow n = 5 \Rightarrow m = \frac{2 \left(\right. 2 \left.\right) \left(\right. 5 \left.\right) + 1}{3} = \frac{21}{3} = 7\)

Kiểm tra:

• \(A = \frac{3 \cdot 7 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2\)
• \(B = \frac{3 \cdot 5 - 1}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1\)

✅ Đúng.

Kết luận:

Các cặp \(\left(\right. m , n \left.\right)\) nguyên dương sao cho cả hai biểu thức đều nguyên dương gồm:

• \(\left(\right. 1 , 1 \left.\right)\)
• \(\left(\right. 7 , 5 \left.\right)\)

Bạn có thể tìm thêm bằng cách thử các giá trị \(a , b \in \mathbb{Z}^{+}\) nhỏ, dùng công thức:

\(n = \frac{2 b + 3}{9 - 4 a b} , m = \frac{2 a n + 1}{3}\)

tìm các số nguyên dương m,n sao cho \(\frac{3m-1}{2n}\)và \(\frac{3n-1}{2m}\)cùn là các số nguyên dương

Do 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 : 8 dư 1

=> 2n chia hết cho 8

=> n chia hết cho 4

=> n chẵn

=> 3n chẵn

=> 3n+1 lẻ

=> 3n+1 chia 8 dư 1

=> 3n chia hết cho 8

=> n chia hết cho 8    (1)

Có: 3n+1 là số chính phương => 3n+1 chia 5 dư 0;1;4

=> 3n chia 5 dư 4;3 hoặc chia hết cho 5

=> n chia 5 dư 3;1 hoặc chia hết cho 5

- Xét n : 5 dư 3 => 2n+1 chia 5 dư 2 (Loại)

- Xét n : 5 dư 1 => 2n+1 chia 5 dư 3 (Loại)

- Xét n chia hết cho 5 => 2n+1 chia 5 dư 1 (Thỏa mãn)

=> n chia hết cho 5   (2)

Từ (1) và (2) suy ra n chia hết cho 40

Ta tìm được n=40 để 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương

P/s: Vậy n=40 chỉ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài

Lời giải:

Đặt tổng trên là $A$.

Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là scp (thỏa mãn)

Xét $n\geq 2$. Khi đó:

$2^n\equiv 0\pmod 4; 4^n\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A=2^n+3^n+4^n\equiv 3^n\equiv (-1)^n\pmod 4$

Vì 1 scp khi chia 4 chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$ nên $n$ phải là số chẵn.

Đặt $n=2k$ với $k$ nguyên dương.

Khi đó: $A=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\equiv (-1)^{2k}+0+1^{2k}\equiv 2\pmod 3$
Một scp khi chia 3 chỉ có thể có dư là 0 hoặc 1 nên việc chia 3 dư 2 như trên là vô lý

Vậy TH $n\geq 2$ không thỏa mãn. Tức là chỉ có 1 giá trị $n=1$ thỏa mãn.

Đặt a là UCLN(3n+2,2n+1)  => 3n+2 chia hết cho a va 2+1 chia hết cho a.

=> 2(3n+2) vẫn chia hết cho a và 3(2n+1) vẫn chia hết cho a

=>2(3n+2)-3(2n+1) chia hết cho a

=>6n+4-6n-3 chia hết cho a

=> 1 chia hết cho a

=> a=1

vậy 3n+2 và 2n+1 là hai số  nguyên tố cùng nhau.

Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này khụng khú :

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*)

Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd

=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab

=> ab = (a, b).[a, b] . (**)