a: góc DAC+góc DMC=180 độ

=>DACM nội tiếp

góc EMC+góc EBC=180 độ

=>EMCB nội tiếp

b: DACM nội tiếp

=>góc MDC=góc MAC

=>góc MDC=góc MAB

EMCB nội tiếp

=>góc MEC=góc MBC=góc MBA

c: góc DCM+góc ECM

=góc DAM+góc EBM

=90 độ-góc MAB+90 độ-góc MBA

=góc AMB=90 độ

=>góc DCE=90 độ

=>ΔCDE vuông tại C

2: Xét tứ giác BDMO có 

\(\widehat{DBO}+\widehat{DMO}=180^0\)

Do đó: BDMO là tứ giác nội tiếp

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến

a, Ta có: AC = CM; BD = DM => AC+BD=CD

b,  C O A ^ = C O M ^ ; D O M ^ = D O B ^

=>  C O D ^ = 90 0

c, AC.BD = MC.MD =  M O 2 = R 2

d, Gọi I là trung điểm của CD. Sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông và đường trung bình trong hình thang để suy ra đpcm

a; Xét (O) có

MA,MD là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MD và OM là phân giác của góc AOD

Xét (O) có

ND,NB là các tiếp tuyến

DO đó: ND=NB và ON là phân giác của góc BOD

MA+NB=MD+ND=MN

b: OM là phân giác của góc AOD

=>\(\hat{AOD}=2\cdot\hat{DOM}\)

ON là phân giác của góc BOD

=>\(\hat{BOD}=2\cdot\hat{DON}\)

Ta có: \(\hat{AOD}+\hat{BOD}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{DOM}+\hat{DON}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{MON}=180^0\)

=>\(\hat{MON}=90^0\)

=>ΔOMN vuông tại O

Xét ΔOMN vuông tại O có OD là đường cao

nên \(DM\cdot DN=OD^2=R^2\)

=>\(MA\cdot BN=R^2\)

a: Xét (O) co

CM,CA là tiếp tuyên

=>CM=CA 

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB

CD=CM+MD

=>CD=CA+BD

b: Xet ΔACN và ΔDBN có

góc NAC=góc NDB

góc ANC=góc DNB

=>ΔACN đồng dạng vơi ΔDBN

=>AC/BD=AN/DN

=>CN/MD=AN/ND

=>MN/AC

Xét (O) có

MC,MA là các tiếp tuyến

Do đó: MC=MA và OM là phân giác của góc COA

Xét (O) có

NC,NB là các tiếp tuyến

Do đó;NC=NB và ON là phân giác cua góc COB

Xét ΔHMA và ΔHBN có

\(\hat{HMA}=\hat{HBN}\) (hai góc so le trong, AM//BN)

\(\hat{MHA}=\hat{BHN}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔHMA~ΔHBN

=>\(\frac{HM}{HB}=\frac{HA}{HN}=\frac{MA}{BN}=\frac{MC}{CN}\)

Xét ΔMNB có \(\frac{MH}{HB}=\frac{MC}{CN}\)

nên HC//NB

=>CK//AM

CH//AM

AM⊥ AB

Do đó: CH⊥AB

Gọi I là giao điểm của CB và AM

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>BC⊥CA tại C

=>AC⊥CI tại C

=>ΔACI vuông tại C

Ta có: \(\hat{MAC}+\hat{MIC}=90^0\) (ΔACI vuông tại C)

\(\hat{MCA}+\hat{MCI}=\hat{ACI}=90^0\)

mà \(\hat{MAC}=\hat{MCA}\) (ΔMAC cân tại M)

nên \(\hat{MIC}=\hat{MCI}\)

=>MI=MC

mà MC=MA

nên MI=MA(1)

Xét ΔBAM có HK//AM

nên \(\frac{HK}{AM}=\frac{BH}{BM}\) (2)

Xét ΔBMI có CH//MI

nên \(\frac{CH}{MI}=\frac{BH}{BM}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra HK=HC

b: Xét (O) có

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA

Xét (O) có 

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: DM=DB

Ta có: CM+MD=CD

nên CD=AC+BD

a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của \(\widehat{AOM}\)

OC là phân giác của \(\widehat{AOM}\)

nên \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

DO đó: DM=DB và OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)

Ta có: OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

b: Xét tứ giác BDMO có

\(\widehat{OMD}+\widehat{OBD}=90^0+90^0=180^0\)

=>BDMO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OD

=>B,D,M,O cùng nằm trên đường tròn đường kính OD

Bán kính là \(R'=\dfrac{OD}{2}\)

c: Ta có: CD=CM+MD

mà CM=CA 

và DM=DB

nên CD=CA+DB

d,e: Gọi N là trung điểm của CD

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC

=>ON//AC//BD

Ta có: ON//AC

AC\(\perp\)AB

Do đó: ON\(\perp\)AB

Ta có: ΔCOD vuông tại O

=>ΔCDO nội tiếp đường tròn đường kính CD

=>ΔCOD nội tiếp (N)

Xét (N) có

NO là bán kính 

AB\(\perp\)NO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến của (N)

hay AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD(ĐPCM)

f: Xét ΔNCA và ΔNBD có

\(\widehat{NCA}=\widehat{NBD}\)(hai góc so le trong, AC//BD)

\(\widehat{CNA}=\widehat{BND}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNCA đồng dạng với ΔNBD

=>\(\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{NA}{ND}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CM}{MD}\)

Xét ΔDCA có \(\dfrac{NA}{ND}=\dfrac{CM}{MD}\)

nên MN//AC