a: Xét (O1) có

ΔAPH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAPH vuông tại P

=>HP⊥MA tại P

Xét (O2) có

ΔHQB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHQB vuông tại Q

=>HQ⊥MB tại Q

Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

Xét tứ giác MPHQ có \(\hat{MPH}=\hat{MQH}=\hat{PMQ}=90^0\)

nên MPHQ là hình chữ nhật

=>MH=PQ
b: Xét ΔMHA vuông tại H có HP là đường cao

nên \(MP\cdot MA=MH^2\left(1\right)\)

Xét ΔMHB vuông tại H có HQ là đường cao

nên \(MQ\cdot MB=MH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MP\cdot MA=MQ\cdot MB\)

=>\(\frac{MP}{MB}=\frac{MQ}{MA}\)

Xét ΔMQP vuông tại M và ΔMAB vuông tại M có

\(\frac{MQ}{MA}=\frac{MP}{MB}\)

Do đó: ΔMQP~ΔMAB

c: MPHQ là hình chữ nhật

=>\(\hat{HPQ}=\hat{HMQ}=\hat{HMB}\)

\(\Delta O_1PH\) cân tại O1

=>\(\hat{O_1PH}=\hat{O_1HP}=\hat{PHA}\)

mà \(\hat{PHA}=\hat{MBA}\) (hai góc đồng vị, PH//MB)

nên \(\hat{O_1PH}=\hat{MBA}\)

MPHQ là hình chữ nhật

=>\(\hat{PQH}=\hat{PMH}=\hat{AMH}\)

\(\Delta O_2QH\) cân tại O2

=>\(\hat{O_2QH}=\hat{O_2HQ}=\hat{QHB}\)

mà \(\hat{QHB}=\hat{MAB}\) (hai góc đồng vị, QH//MA)

nên \(\hat{O_2QH}=\hat{MAB}\)

\(\hat{QPO_1}=\hat{QPH}+\hat{HPO_1}\)

\(=\hat{HMB}+\hat{HBM}=90^0\)

=>QP là tiếp tuyến của (O1)

\(\hat{PQO_2}=\hat{PQH}+\hat{HQO_2}\)

\(=\hat{PMH}+\hat{MAH}=90^0\)

=>PQ là tiếp tuyến của (O2)

a) Vì TO là đường kính \(\Rightarrow\angle TMO=90\) mà \(M\in\left(O\right)\Rightarrow TM\) là tiếp tuyến của (O)

b) Xét \(\Delta TMC\) và \(\Delta TDM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MTDchung\\\angle TMC=\angle TDM\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TMD\sim\Delta TCM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{TC}{TM}=\dfrac{TM}{TD}\Rightarrow TC.TD=TM^2\)

c) Vì đường tròn đường kính TO có tâm I và đường tròn (O) cắt nhau tại M và N \(\Rightarrow\) IO là trung trực của MN \(\Rightarrow MN\bot TO\)

mà \(\Delta TMO\) vuông tại M \(\Rightarrow TM^2=TE.TO\) (hệ thức lượng)

mà \(TC.TD=TM^2\Rightarrow TC.TD=TE.TO\Rightarrow\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\)

Xét \(\Delta TEC\) và \(\Delta TDO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OTDchung\\\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TEC\sim\Delta TDO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle TEC=\angle TDO\Rightarrow ODCE\) nội tiếp

1: Xét (I) có

ΔAMC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAMC vuông tại M

=>CM⊥DA tại M

Xét (J) có

ΔCNB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCNB vuông tại N

=>CN⊥DB tại N

Xét (O) có

ΔDAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔDAB vuông tại D

=>\(\hat{ADB}=90^0\)

Xét tứ giác DMCN có \(\hat{DMC}=\hat{DNC}=\hat{MDN}=90^0\)

nên DMCN là hình chữ nhật

2: Xét ΔDCA vuông tại C có CM là đường cao

nên \(DM\cdot DA=DC^2\left(1\right)\)

Xét ΔDCB vuông tại C có CN là đường cao

nên \(DN\cdot DB=DC^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(DM\cdot DA=DN\cdot DB\)

=>\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Xét ΔDMN vuông tại D và ΔDBA vuông tại D có

\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Do đó: ΔDMN~ΔDBA

=>\(\hat{DMN}=\hat{DBA}\)

mà \(\hat{DMN}+\hat{AMN}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMN}+\hat{ABN}=180^0\)

=>AMNB là tứ giác nội tiếp

c: ΔDNM~ΔDAB

=>\(\hat{DNM}=\hat{DAB}\)

Gọi Dx là tiếp tuyến tại D của (O)

=>OD⊥ Dx tại D

Xét (O) có

\(\hat{xDB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Dx và dây cung DB

\(\hat{DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB

Do đó: \(\hat{xDB}=\hat{DAB}\)

=>\(\hat{xDB}=\hat{DNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Dx//MN

=>MN⊥OD