1.  Ta có \(x^3+6x^2-19x-24=x^3+x^2+5x^2+5x-24x-24\)

\(=x^2\left(x+1\right)+5x\left(x+1\right)-24\left(x+1\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(x^2+5x-24\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(x+8\right)\left(x-3\right)\)

Đặt x - 3 = k, biểu thức trở thành A  =  k(k + 4)(k + 11)

Ta thấy ngay A chứa ít nhất một số nhân tử là số chẵn nên A chia hết cho 2. Ta chỉ cần chứng minh A chia hết 3.

Thật vậy, nếu k = 3a thì A chia hết cho A.

Nếu k = 3a + 1 thì k + 11 = 3a + 1 + 11 = 3a + 12 chia hết 3

Nếu k = 3a + 2 thì k + 4 = 3a + 2 + 4 = 3a + 6 chia hết 3

Vậy A chia hết cho 2 và 3 mà (2;3) = 1 nên A chia hết cho 6.

2.  \(y^2+2\left(x^2+1\right)=2y\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow y^2+2x^2+2=2xy+2y\)

\(\Leftrightarrow y^2+2x^2+2-2xy-2y=0\)

\(\Leftrightarrow2y^2+4x^2+4-4xy-4y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2-4y+4\right)+\left(4x^2-4xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)^2+\left(2x-y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(y-2\right)^2=0\\\left(2x-y\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\2x=y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

Vậy x = 1, y = 2

Gt\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)

\(\Leftrightarrow-2\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x^2+2}+y-1+\sqrt{y^2-2y+3}=0\) (*)

\(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right).-2=2\left(y-1-\sqrt{y^2+2y+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow y-1-\sqrt{y^2+2y+3}+x+\sqrt{x^2+2}=0\) (2*)

Cộng vế với vế của (*) và (2*) => \(2x+2y-2=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy=1\)

Ta có:`(x+sqrt{x^2+2})(sqrt{x^2+2}-x)=2`

`<=>sqrt{x^2+2}-x=y-1+sqrt{y^2-2y+3}`

`<=>sqrt{x^2+2}-sqrt{y^2-2y+3}=x+y-1(1)`

CMTT:`sqrt{y^2-2y+3}-(y-1)=x+sqrt{x^2+2}`

`<=>sqrt{y^2-2y+3}-y+1=x+sqrt{x^2+2}`

`<=>sqrt{y^2-2y+3}-sqrt{x^2+2}=x+y-1(2)`

Cộng từng vế (1)(2) ta có:

`2(x+y-1)=0`

`<=>x+y-1=0`

`<=>x+y=1`

`<=>(x+y)^3=1`

`<=>x^3+y^3+3xy(x+y)=1`

`<=>x^3+y^3+3xy=1`(do `x+y=1`)

\(\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|\)

Lời giải:

Đặt $xy=t$

Áp dụng BĐT AM_GM:

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=3$. Như vậy $0\leq t\leq 3$

Ta có:

$P=(x^4+1)(y^4+1)=x^4y^4+x^4+y^4+1$

$=x^4y^4+(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+1$

$=x^4y^4+[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2+1$

$=x^4y^4+2x^2y^2-48xy+145$

$=t^4+2t^2-48t+145$

$=t(t^3+2t-48)+145$

Vì $0\leq t\leq 3$ nên $t(t^3+2t-48)\leq 0$

$\Rightarrow P\leq 145$

Vậy $P_{\max}=145$. Giá trị này đạt tại $(x,y)=(0,2\sqrt{3})$ và hoán vị.

a: \(x^2+y^2(x-y+1)-\left(x-1\right)\cdot y=22\)

=>\(x^2 + y^2(x - y + 1) - xy + y = 22\)

=>\(x^2-xy+y^2(x-y+1)+y=22\)

=>\(x(x-y+1)-x+y^2(x-y+1)+y=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y)=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y+1)+1=22\)

=>\((x-y+1)(x+y^2-1)=21\)

TH1: \(\begin{cases}x-y+1=1\\ x+y^2-1=21\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=y\\ y+y^2-1=21\end{cases}\iff y^2+y-22=0\)

=>\(y^2+y+\frac14-\frac{89}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2=\frac{89}{4}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}y+\frac12=\frac{\sqrt{89}}{2}\\ y+\frac12=-\frac{\sqrt{89}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\\ y=\frac{-\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

=>Loại

TH2: \(\begin{cases}x-y+1=21\\ x+y^2-1=1\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+20\\ (y+20)+y^2-1=1\end{cases}\iff y^2+y+18=0\)

=>\(y^2+y+\frac14+\frac{71}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2+\frac{71}{4}=0\) (vô lý)

=>Loại

TH3: \(\begin{cases}x-y+1=3\\ x+y^2-1=7\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+2\\ (y+2)+y^2-1=7\end{cases}\iff y^2+y-6=0\)

=>(y+3)(y-2)=0

=>y=-3 hoặc y=2

Nếu y=-3 thì x-y+1=3

=>x-y=2

=>x-(-3)=2

=>x+3=2

=>x=-1

Nếu y=2 thì x-y+1=3

=>x-2+1=3

=>x-1=3

=>x=4

TH4: \(\begin{cases}x-y+1=7\\ x+y^2-1=3\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+6\\ (y+6)+y^2-1=3\end{cases}\iff y^2+y+2=0\)

=>y∈∅

=>Loại

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-4=a\\y-3=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2=5\)

\(Q=\sqrt{\left(a+5\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{2\left[\left(a+5\right)^2+b^2+\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2\right]}\) (Bunhiacopxki)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+8a+b^2+4b+25\right)}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2.4a+b^2+2.2b+25\right)}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2\left(a^2+4\right)+b^2+2\left(b^2+1\right)+25\right)}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(3a^2+3b^2+35\right)}\le\sqrt{4\left(3.5+35\right)}=10\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=4\end{matrix}\right.\)