a.

\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)^2=32y\Leftrightarrow x=\dfrac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)

Do y và y+1 nguyên tố cùng nhau  \(\Rightarrow32⋮\left(y+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2=\left\{4;16\right\}\)

\(\Rightarrow...\)

b.

\(2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow2\left(a-b\right)\left(a+b\right)+a-b=b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)

Gọi \(d=ƯC\left(2a+2b+1;a-b\right)\)

\(\Rightarrow b^2\) chia hết \(d^2\Rightarrow b⋮d\) (1)

Lại có:

\(\left(2a+2b+1\right)-2\left(a-b\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4b+1⋮d\) (2)

 (1);(2) \(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2a+2b+1\) và \(a-b\) nguyên tố cùng nhau

Mà tích của chúng là 1 SCP nên cả 2 số đều phải là SCP (đpcm)

A

A

Xem nó là phương trình ẩn a rồi dùng \(\Delta\)là ra

Câu hỏi của Cuồng Song Joong Ki - Toán lớp 8  (em không chắc đâu nha)

a)

$A=\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}$

$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a(b^2+1)+b(c^2+1)+c(a^2+1)}\qquad (\text{Cauchy Engel})$

$=\dfrac{1}{ab^2+bc^2+ca^2+1}$

$\ge \dfrac{1}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+1}$

$=\dfrac{1}{(a+b+c)(ab+bc+ca)+1}

$\ge \dfrac{1}{\frac13+1}$ $=\dfrac34$

Dấu bằng khi $a=b=c=\dfrac13$.

$\boxed{A_{\min}=\dfrac34}$

b)

$B=\dfrac{a}{ab+2c}+\dfrac{b}{bc+2a}+\dfrac{c}{ca+2b}$

$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a(ab+2c)+b(bc+2a)+c(ca+2b)}$

$=\dfrac4{a^2b+b^2c+c^2a+2(ab+bc+ca)}$

Lại có $a^2b+b^2c+c^2a\le (a+b+c)(ab+bc+ca)$$=2(ab+bc+ca)$

Nên $B\ge \dfrac4{4(ab+bc+ca)}$$=\dfrac1{ab+bc+ca}$

$\ge \dfrac1{\frac{(a+b+c)^2}{3}}$ $=\dfrac34$

Dấu bằng khi $a=b=c=\dfrac23$.

$B_{\min}=\dfrac34$

Ta có: \(\left(\frac{a+b}{b}-\frac{2b}{b-a}\right)\cdot\frac{b-a}{a^2+b^2}+\left(\frac{a^2+1}{2a-1}-\frac{a}{2}\right):\frac{a+2}{1-2a}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)+2b^2}{b\left(a-b\right)}\cdot\frac{-\left(a-b\right)}{a^2+b^2}+\frac{2\left(a^2+1\right)-a\cdot\left(2a-1\right)}{2\left(2a-1\right)}\cdot\frac{-\left(2a-1\right)}{a+2}\)

\(=\frac{a^2-b^2+2b^2}{-b}\cdot\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2a^2+2-2a^2+a}{2}\cdot\frac{-1}{a+2}\)

\(=\frac{-1}{b}+\frac{-1}{2}=\frac{-2-b}{2b}\)

B, C và D

mấy cái đó là đúng hả bạn

Ta có: \(a^2+b^2+1=2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1-2ab+2a-2b=4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b+1\right)^2=4a\)(*)

Do a,b nguyên nên \(\left(a-b+1\right)^2\)là số chính phương. Suy ra a là số chính phương a=x² (x nguyên)

Khi đó (*) trở thành : \(\left(x^2-b+1\right)^2=4x^2\Rightarrow x^2-b+1=\pm2x\Leftrightarrow b=\left(x\mp1\right)^2\)

Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp.

a) Rút gọn M = -6ab(-2b + a). Tính được M = 60.

b) Rút gọn M = 6xy – 7. Tính được N = -10.

\(2a^2+a=3b^2+b\Rightarrow2a^2-2b^2+a-b=b^2\)

\(\Rightarrow2.\left(a-b\right).\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=b^2\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right).\left(2a+2b+1\right)=b^2\left(1\right)\)

Gọi \(d=ƯCLN ( a-b;2a+2b+1)\)

\(\Rightarrow a-b\) chia hết cho d và \(2a+2b+1\) chia hết cho d.

\(\Rightarrow b^2=\left(a-b\right).\left(2a+2b+1\right)\) chia hết cho \(d^2.\)

\(\Rightarrow b\) chia hết cho d.

Lại có: \(2.(a-b)-(2a+2b+1)\) chia hết cho d.

\(\Rightarrow d=-4b-1\) chia hết cho d.

\(\Rightarrow1\) chia hết cho d.

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow a-b\) và \((2a+2b+1)\) nguyên tố cùng nhau. ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra: \(a-b\) và \(2a+2b+1\) là số chính phương. ( đpcm )