a) 8 . 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ . ( 8 + 2 ) = 2ⁿ . 10 = ....0 

b) có vấn đề

c) 4ⁿ⁺³ + 4ⁿ⁺² - 4ⁿ⁺¹ - 4ⁿ = 4ⁿ . ( 4³ + 4² - 4 - 1 ) = 4ⁿ . 75 = 4^n-1 . 4 . 75 = 300 . 4^n-1 \(⋮\)300

\(4^{n+3}+4^{n+2}-4^{n+1}-4^n\)

\(\Leftrightarrow4^n.64+4^n.16-4^n.4-4^n=4^n\left(64+16-4-1\right)\)

\(=4^n.75\)

Vì \(4^n\) luôn luôn chia hết cho 4 với mọi

Nên \(4^n.75\) Chia hết cho \(4.75=300\)

Vậy .....

N có 301 số hạng. Nhóm 3 số vào 1 nhóm ta được 100 nhóm và thừa 1 số

=> N = 1+(2+2²+2³)+(2⁴+2⁵+2⁶)+....+(2²⁹⁸+2²⁹⁹+2³⁰⁰)

=> N = 1+2(1+2+2²)+2⁴(1+2+2²)+....+2²⁹⁸(1+2+2²)

=> N = 1 + 2.7 + 2⁴.7 +.....+ 2³⁹⁸.7

=> N = 1 + 7.(2+2⁴+...+2³⁹⁸)

Vì 7.(2+2⁴+...+2³⁹⁸) chia hết cho 7

Mà 1 chia 7 dư 1

=> 1 + 7.(2+2⁴+...+2³⁹⁸) chia 7 dư 1

=> N chia 7 dư 1

=> N không chia hết cho 7 (đpcm)

a, Ta có : 8.2ⁿ + 1^{n + 1} 

= 8.2ⁿ + 1 (vì 1^{n + 1} lúc nào cũng bằng 1)

= 2^{3 + n} . 1

Mà 2^{3 + n} luôn luôn ko chia hết cho10

Nên 8.2ⁿ + 1^{n + 1}  ko chi hết cho10

Ta đặt:

\(A=1^n+2^n+3^n+4^n\)

Nếu n là số lẻ thì \(1^n+4^n⋮5;2^n+3^n⋮5\) 

Nên \(A⋮5\) 

Nếu n = 4K + 2 \(\left(k\in N\right)\) thì

\(A=1+2^{4K+2}+3^{4K+2}+4^{4K+2}=\left(1+4^{2K+1}\right)+\left(9^{2K+1}+16^{2K+1}\right)⋮5\)

Nếu n = 4K \(\left(K\in N\right)\) thì

\(A=1+2^{4K}+3^{4K}+4^{4K}=1+16^K+81^K+256^K\)

Có chữ số tận cùng là 4, không chia hết cho 5

\(\Rightarrow1^n+2^n+3^n+4^n⋮5\) khi \(n⋮̸4\left(đpcm\right)\)

a: n lẻ nên n=2k+1

\(A=n^3+3n^2-n-3\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=2k\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k+2\right)=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên k(k+1)(k+2)⋮3!=6

=>A=8k(k+1)(k+2)⋮8*6

=>A⋮48

c: n lẻ nên n=2k+1

\(C=n^4-10n^2+9\)

\(=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)=16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k-1;k;k+1;k+2 là bốn số nguyên liên tiếp

nên \(\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) ⋮4!=24

=>C=16k(k+1)(k-1)(k+2)⋮16*24

=>C⋮384