\(M=\frac{x+y}{xy}.\frac{1}{z}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{xy}.\frac{1}{z}=\frac{2}{z\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{z\left(\frac{x+y}{2}\right)}=\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{4}{z\left(1-z\right)}=\frac{4}{\frac{1}{4}-\left(z-\frac{1}{2}\right)^2}\ge16\)

Min M= 16 khi  z=1/2 và  x=y =1/4.

Ta có $xyz\ge x+y+z+2.$

Theo bất đẳng thức AM-GM:

$xyz\le\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3.$

Suy ra $\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3\ge x+y+z+2$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^3\ge27(x+y+z+2)$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^3-27(x+y+z)-54\ge0$

$\Leftrightarrow (x+y+z-6)(x+y+z+3)^2\ge0.$

Vì $x,y,z>0$ nên $x+y+z+3>0.$

Do đó $x+y+z-6\ge0$

$\Leftrightarrow x+y+z\ge6.$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$ và $xyz=x+y+z+2$

$\Leftrightarrow x^3=3x+2$

$\Leftrightarrow (x-2)(x+1)^2=0$

$\Leftrightarrow x=2.$

Vậy $x=y=z=2$ và $\min(x+y+z)=6.$

Có \(P=\dfrac{x+z}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}\)

\(=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}=\dfrac{4}{y\left(4-y\right)}=\dfrac{4}{-y^2+4y}=\dfrac{4}{-\left(y-2\right)^2+4}\ge1\)

"=" xảy ra khi y = 2 ; x = 1 ; z = 1

Giúp mình câu này với ah.

M=x+yxy.1z≥2√xyxy.1z=2z√xy≥2z(x+y2)=4z(x+y)M=x+yxy.1z≥2xyxy.1z=2zxy≥2z(x+y2)=4z(x+y)

=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16

Min M= 16 khi  z=1/2 và  x=y =1/4

Vì $x,y,z>0$ và $x+y+z=xyz$ nên $\dfrac{x+y+z}{xyz}=1$

$\Leftrightarrow\dfrac1{yz}+\dfrac1{xz}+\dfrac1{xy}=1.$

Đặt $a=\dfrac1x,\quad b=\dfrac1y,\quad c=\dfrac1z.$

Khi đó $ab+bc+ca=1.$

Ta có $S=\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{z^2}+\dfrac{z}{x^2}$

$=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}$

$\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}$$=a+b+c.$

Mặt khác, $(a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow(a+b+c)^2\ge3$

$\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt3.$

Suy ra $S\ge\sqrt3.$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac1{\sqrt3}$

$\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt3.$

Khi đó điều kiện $x+y+z=xyz$ được thỏa mãn. Vậy $S_{\min}=\sqrt3.$