Đáp án A

Gọi H là trung điểm AB. Ta có 2 tam giác SAB và ABC đều và bằng nhau nên SH = CH= a 3    . Mà S Δ A B C = a 2 3 ⇒ V S . A B C = 1 3 a 2 3 . a 3 = a 3

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}(2a)^2 = \sqrt3 a^2$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = 2a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 2a = a\sqrt3$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM = \dfrac13 \cdot \sqrt3 a^2 \cdot a\sqrt3 = \dfrac13 \cdot 3a^3 = a^3$.

Vậy $V = a^3$.

Chọn đáp án A.

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp là:

$OA = OB = OC = \dfrac{a}{\sqrt3}$.

Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$: $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Mặt khác: $OM = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $SO^2 = SM^2 - OM^2 = \dfrac{3a^2}{4} - \dfrac{a^2}{12} = \dfrac{8a^2}{12} = \dfrac{2a^2}{3}$.

$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{a^3}{8} \cdot \dfrac{2\sqrt2}{3\sqrt3} = \dfrac{a^3\pi\sqrt6}{27}$.

Vậy $V = \dfrac{\pi a^3\sqrt6}{27}$.

Đáp án là B.

V S . A B C = 1 3 S A . S Δ A B C = 1 3 . a 3 . a 2 3 4 = a 3 4 .

a)

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^\circ$ nên:

$\tan 30^\circ = \dfrac{SA}{AB}$

$\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SA}{a} \Rightarrow SA = \dfrac{a}{\sqrt3}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{\sqrt3}$

$= \dfrac{a^3}{12}$.

b)

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC$.

Do $SA \perp (ABC)$ và $SA = 5a$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$

$\sqrt3 = \dfrac{5a}{AC} \Rightarrow AC = \dfrac{5a}{\sqrt3}$.

Suy ra: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{5a}{\sqrt3} = \dfrac{5a^2}{2\sqrt3}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{5a^2}{2\sqrt3} \cdot 5a$

$= \dfrac{25a^3}{6\sqrt3}

= \dfrac{25\sqrt3 a^3}{18}$.

a)

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của khối chóp.

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^\circ$ nên:

$\tan 30^\circ = \dfrac{SA}{AB}$

$\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SA}{a} \Rightarrow SA = \dfrac{a}{\sqrt3}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{\sqrt3}$

$= \dfrac{a^3}{12}$.

b)

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC$.

Do $SA \perp (ABC)$ và $SA = 5a$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$

$\sqrt3 = \dfrac{5a}{AC} \Rightarrow AC = \dfrac{5a}{\sqrt3}$.

Suy ra: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot \dfrac{5a}{\sqrt3} = \dfrac{5a^2}{2\sqrt3}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{5a^2}{2\sqrt3} \cdot 5a$

$= \dfrac{25a^3}{6\sqrt3}

= \dfrac{25\sqrt3 a^3}{18}$.

1)

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$.

Vì $(SAC) \perp (ABC)$ nên $H \in AC$.

a) Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $HC$:

$\tan \alpha = \dfrac{SH}{HC}$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, $H \in AC$ nên đặt $HC = x$.

Vì tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $SH \perp AC$ tại trung điểm $\Rightarrow H$ là trung điểm $AC$.

Suy ra $HC = \dfrac{a}{2}$.

Xét góc giữa $SB$ và đáy:

$\tan 30^\circ = \dfrac{SH}{BH} = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Trong tam giác đều:

$BH = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

=> $\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SH}{\dfrac{\sqrt3}{2}a} \Rightarrow SH = \dfrac{a}{2}$.

Do đó: $\tan \alpha = \dfrac{SH}{HC} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2}} = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ$.

b) Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, khi đó góc giữa hai mặt phẳng là:

$\tan \beta = \dfrac{SH}{HM}$.

Trong tam giác đều:

$HM = \dfrac{\sqrt3}{2}a \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{4}$.

=> $\tan \beta = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt3}{4}} = \dfrac{2}{\sqrt3} \Rightarrow \beta = \arctan \dfrac{2}{\sqrt3}$.

2)

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ và tam giác $SAB$ vuông tại $S$ nên:

$SA \perp SB$, đồng thời $SA \perp (ABC)$.

=> $SA$ là chiều cao.

a) Góc giữa $SC$ và $(ABC)$:

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ thì $H \equiv A$.

Do đó: $\tan \alpha = \dfrac{SA}{AC}$.

Vì tam giác đều: $AC = a$.

=> $\tan \alpha = \dfrac{a\sqrt3}{a} = \sqrt3 \Rightarrow \alpha = 60^\circ$.

b) Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có:

$\tan \beta = \dfrac{SA}{AM}$.

Trong tam giác đều:

$AM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

=> $\tan \beta = \dfrac{a\sqrt3}{\dfrac{\sqrt3}{2}a} = 2 \Rightarrow \beta = \arctan 2$.

  Đs: V = 

Gọi H là chiều dài vuông góc của S trên BC.

(SBC)_I_(ABC)

(SBC) \(\cap\) (ABC) = BC

SH \(\subset\)  (SBC)

SH _I_ BC

SH là đường cao hình chóp S.ABC

.Ta có : SH = SB sinSBC = \(a\sqrt{3}\)

S.ABC = 1/2 BA . BC

V.S.ABC = 1/3 SH . S.ABC 2a³\(\sqrt{3}\)

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = 2 \Rightarrow AC = 2\sqrt2$.

Các cạnh bên:

$SA = SB = SC = 2$.

Xét tam giác $ABC$:

$AB^2 + BC^2 = 4 + 4 = 8 = AC^2$ nên vuông tại $B$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(2,0,0),\ C(0,2,0)$.

Gọi $S(x,y,z)$ thỏa:

$SA^2 = SB^2 = SC^2 = 4$.

Từ $SB^2 = 4 \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 4$.

Từ $SA^2 = 4 \Rightarrow (x-2)^2 + y^2 + z^2 = 4 \Rightarrow x = 1$.

Từ $SC^2 = 4 \Rightarrow x^2 + (y-2)^2 + z^2 = 4 \Rightarrow y = 1$.

Thay vào: $1 + 1 + z^2 = 4 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \sqrt2$.

Suy ra $S(1,1,\sqrt2)$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $OS$ với $O(0,0,0)$:

$I\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$.

Bán kính:

$R = IA = \sqrt{\left(2 - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi (\sqrt3)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3\sqrt3 = 4\pi\sqrt3$.

Vậy $V = 4\pi\sqrt3$.