ΔAHE vuông tại H nên AH<AE

=>góc AEH<90 độ

=>góc AED>90 độ

=>AE<AD

=>AH<AE<AD

A B C H 12

a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow BC^2=\left(\frac{3}{5}BC\right)^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=\frac{16}{25}BC^2\Leftrightarrow AC=\frac{4}{5}BC\)

* Áp dụng hệ thức : 

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{144}=\frac{1}{\frac{9}{25}BC^2}+\frac{1}{\frac{16}{25}BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{144}=\frac{\frac{16}{25}BC^2+\frac{9}{25}BC^2}{\frac{16}{25}BC^2.\frac{9}{25}BC^2}\Rightarrow144BC^2=\frac{144}{625}BC^4\)

\(\Leftrightarrow\frac{144}{625}BC^2-144=0\Leftrightarrow BC^2=144.\frac{625}{144}=625\Leftrightarrow BC=25\)cm 

\(\Rightarrow AB=\frac{3}{5}BC=\frac{3}{5}.25=\frac{75}{5}=15\)cm

\(\Rightarrow AC=\frac{4}{5}BC=\frac{4}{5}.25=\frac{100}{5}=20\)

Chu vi tam giác là : \(P_{ABC}=AB+BC+AB=15+20+25=60\)cm²

A B C H D 15 20

b, Vì AD là phân giác nên : \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\Rightarrow AB=\frac{3}{4}AC\)

Lại có : \(BC=BD+DC=15+20=35\)cm 

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

\(BC^2=AC^2+AB^2=AC^2+\left(\frac{3}{4}AC\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{25}{16}AC^2=1225\Leftrightarrow AC^2=\frac{16.1225}{25}=784\Leftrightarrow AC=28\)cm 

\(\Rightarrow AB=\frac{3}{4}.28=21\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{AC^2+AB^2}{AB^2AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{784+441}{345744}\Leftrightarrow1225AH^2=345744\Leftrightarrow AH^2=\frac{7056}{25}\Leftrightarrow AH=\frac{84}{5}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{441}{35}=\frac{63}{5}\)cm 

\(\Rightarrow HD=BD-BH=15-\frac{63}{5}=\frac{12}{5}\)cm

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác AHD vuông tại H 

\(AD^2=AH^2+HD^2=\left(\frac{84}{5}\right)^2+\left(\frac{12}{5}\right)^2=288\Rightarrow AD=12\sqrt{2}\)cm 

1:

BC=15+20=35cm

AD là phân gíac

=>AB/BD=AC/CD

=>AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

AB^2+AC^2=BC^2

=>25k^2=35^2

=>k=7

=>AB=21cm; AC=28cm

AH=21*28/35=16,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot21\cdot28}{21+28}\cdot cos45=12\sqrt{2}\left(cm\right)\)

2:

BC=căn 12^2+16^2=20cm

HB=AB^2/BC=12^2/20=7,2cm

HC=20-7,2=12,8cm

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tạiH có

góc HAB=góc HCA

=>ΔAHB đồng dạng với ΔCHA

c: BK là phân giác

=>AK/CK=BA/BC

ΔAHC có AD là phân giác

nên DH/CD=AH/AC=BA/BC

=>DH/CD=AK/CK

=>KD//AH

+) Ta có: ∠(ABH) + ∠(ABC) = 180º ( hai góc kề bù)

Suy ra: ∠(ABH) = 180º - ∠(ABC) = 180º − 112º = 68º

+) Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

∠A1+ ∠(ABH) = 90º ( tính chất tam giác vuông)

Suy ra: ∠A1= 90º − ∠(ABH) = 90º − 68º = 22º

+) Tam giác ABC cân tại B nên ∠(BAC) = ∠(ACB)

Lại có ∠(ABC) = 112º và ∠(BAC)+ ∠(ACB) + ∠(ABC) = 180º nên

∠(BAC) = (180º − 112º) : 2 = 34o

+) Do AD là tia phân giác của góc BAC nên

+ Từ đó

∠(HAD) = ∠A1 + ∠A2= 22º + 17º = 39º.

Tam giác HAD vuông tại H nên: ∠(HDA)+ ∠(HAD) = 90º

Suy ra: ∠(HDA) = 90º − ∠(HAD) = 90º − 39º = 51º

a: AC=160cm=16dm

BC=200cm=20dm

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB^2=20^2-16^2=400-256=144=12^2\)

=>AB=12(dm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)

=>AH=192/20=9,6(dm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH=\frac{12^2}{20}=\frac{144}{20}=7,2\left(dm\right)\)

b: Xét ΔABC có AD là phân giác tại đỉnh A

nên \(AD=\frac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\frac{BAC}{2}\right)\)

\(=\frac{2\cdot12\cdot16}{12+16}\cdot cos45=\frac{2\cdot192}{28}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{192\sqrt2}{28}=\frac{48\sqrt2}{7}\) (dm)

a: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\hat{HAB}=\hat{HCA}\left(=90^0-\hat{HBA}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

b: Ta có: \(\hat{BAD}+\hat{CAD}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{BDA}+\hat{HAD}=90^0\) (ΔHAD vuông tại H)

mà \(\hat{CAD}=\hat{HAD}\) (AD là phân giác của góc HAC)

nên \(\hat{BAD}=\hat{BDA}\)

=>ΔBAD cân tại B

ΔBAD cân tại B

mà BK là đường phân giác

nên BK⊥AD tại F và F là trung điểm của AD

Xét ΔEFA vuông tại F và ΔEHB vuông tại H có

\(\hat{FEA}=\hat{HEB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEFA~ΔEHB

c: Xét ΔBAK và ΔBDK có

BA=BD

\(\hat{ABK}=\hat{DBK}\)

BK chung

Do đó: ΔBAK=ΔBDK

=>\(\hat{BAK}=\hat{BDK}\)

=>\(\hat{BDK}=90^0\)

=>DK⊥BC

mà AH⊥BC

nên DK//AH