Hãy tích cho tui đi

vì câu này dễ mặc dù tui ko biết làm 

Yên tâm khi bạn tích cho tui

Tui sẽ ko tích lại bạn đâu

THANKS

\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Dấu ''='' xảy ra <=> a = b = c = 1 

a, a²+b²+c²+3=2(a+b+c)

a²+b²+c²+3-2a-2b-2c=0

(a²-2a+1)+(b²-2b+1)+(c²-2c+1)=0

(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²=0

mà (a-1)²+(b-1)²+(c-1)²\(\ge\)0

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)

=> a=b=c=1

a) \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)

<=> \(a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1=0\)

<=> \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Tổng 3 số không âm bằng 0 <=> a=b=c=1

b) \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3ab+3ac+3bc\)

<=> \(a^2-ab+b^2-bc+c^2-ac=0\)

<=> \(2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2-2ac=0\)

<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Tổng 3 số không âm bằng 0 <=> a=b=c

#NguyễnHoàngTiến ơi cảm ơn bạn đã giúp mình nhưng cho mình hỏi left với right trong bài của bạn có nghĩa là gì vậy hả, mình không hiểu lắm.

Quy định của hoc24 là chỉ dc dăng 1 bài trong 1 câu hỏi bạn nhé

bài 1 :

 Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và có chu vi là 2 
--> a + b + c = 2 

Trong 1 tam giác thì ta có: 
a < b + c 
--> a + a < a + b + c 
--> 2a < 2 
--> a < 1 

Tương tự ta có : b < 1, c < 1 

Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 
⇔ (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0 
⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0 
⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc 

Nên abc < -1 + ab + bc + ca 
⇔ 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2 

--> đpcm 

Bài 2:

a: Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

=>\(a=b\cdot k;c=d\cdot k\)

\(\dfrac{4a-3b}{a}=\dfrac{4\cdot bk-3b}{bk}=\dfrac{b\left(4k-3\right)}{bk}=\dfrac{4k-3}{k}\)

\(\dfrac{4c-3d}{c}=\dfrac{4\cdot dk-3d}{dk}=\dfrac{d\left(4k-3\right)}{dk}=\dfrac{4k-3}{k}\)

Do đó: \(\dfrac{4a-3b}{a}=\dfrac{4c-3d}{c}\)

b: \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}=\dfrac{b^2\left(k-1\right)^2}{d^2\left(k-1\right)^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

\(\dfrac{3a^2+2b^2}{3c^2+2d^2}=\dfrac{3\cdot\left(bk\right)^2+2b^2}{3\cdot\left(dk\right)^2+2d^2}\)

\(=\dfrac{b^2\left(3k^2+2\right)}{d^2\left(3k^2+2\right)}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

Do đó: \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{3a^2+2b^2}{3c^2+2d^2}\)

còn bài một thì sao anh =￣ω￣=

Ta có $\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=a+b$ nên $m=(a+b)+(b+c)+(c+a)$$=2(a+b+c)$

Nhưng điều kiện đề cho:

$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{a^2+ac+c^2}=1006$

không suy ra được $a+b+c=503$.

Ví dụ lấy $a=b=c=t$ thì điều kiện trở thành $\dfrac{t}{3}+\dfrac{t}{3}+\dfrac{t}{3}=1006$

$t=3018$ khi đó $m=6t=18108$.

Vậy câu 1 không đủ dữ kiện để có một giá trị $m$ duy nhất.

Ta có: $a+b+c=\dfrac12$

Bình phương hai vế:

$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=\dfrac14$

Mà: $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\dfrac16$

Lấy hai đẳng thức trừ nhau:

$ab+bc+ca=\dfrac14-\dfrac16=\dfrac1{12}$

Tuy nhiên:

$p=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$ vẫn còn phụ thuộc vào $abc$, nên hai điều kiện trên chưa đủ để xác định $p$.

Nếu đề có thêm điều kiện như $a=b=c$ hoặc một điều kiện khác thì mới tính được.

b) Áp dụng bđt Holder ta có:

\(\left(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\right)\left(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\right)\left(a^2\left(b+c\right)^2+b^2\left(c+a\right)^2+c^2\left(a+b\right)^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)

Lại có \(a^2\left(b+c\right)^2+b^2\left(c+a\right)^2+c^2\left(a+b\right)^2\le2a^2\left(b^2+c^2\right)+2b^2\left(c^2+a^2\right)+2c^2\left(a^2+b^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}}\).

Ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{\sqrt[4]{27\left(a^4+b^4+c^4\right)}}{2}\le\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}}\Leftrightarrow27\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\).

Áp dụng bđt AM - GM ta có \(27\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\).

Vậy ta có đpcm.

a) Câu này cũng tương tự: Áp dụng bđt Holder ta có:

\(\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\).

Đến đây làm tương tự là ok

1.

Cho $a+b+c=0$.

Ta có:

$a+b+c=0\Rightarrow a=-(b+c)$

$\Rightarrow a^2=(b+c)^2=b^2+c^2+2bc$

$\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2bc$

Tương tự:

$b^2-c^2-a^2=2ca$

$c^2-a^2-b^2=2ab$

Do đó: $A=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2ab}$

$=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$

Mà $a+b+c=0$ nên:

$a^3+b^3+c^3=3abc$

Suy ra $A=\dfrac{3abc}{2abc}$

$A=\dfrac32$

2.

Cho $abc=2$.

Ta có:

$A=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2c}{ac+2c+2}$

Vì $abc=2$ nên:

$ab=\dfrac2c,\quad bc=\dfrac2a,\quad ac=\dfrac2b$

Suy ra:

$A=\dfrac{ac}{2+ac+2c}+\dfrac{ab}{2+ab+a}+\dfrac{2bc}{2+2bc+2b}$

$=\dfrac{ac}{2+ac+2c}+\dfrac{ab}{2+ab+a}+\dfrac{bc}{1+bc+b}$

Quy đồng và sử dụng $abc=2$:

$A=1$