a: BC=căn 6^2+8^2=10cm

AH=6*8/10=4,8cm

c:

Xét tứ giác ANHM có

góc ANH=góc AMH=góc MAN=90 độ

=>ANHM là hình chữ nhật

AD vuông góc MN

=>góc DAC+góc ANM=90 độ

=>góc DAC+góc AHM=90 độ

=>góc DAC+góc ABC=90 độ

=>góc DAC=góc DCA

=>DA=DC 

góc DAC+góc DAB=90 độ

góc DCA+góc DBA=90 độ

mà góc DAC=góc DCA

nên góc DAB=góc DBA

=>DA=DB

=>DB=DC

=>D là trung điểm của BC

a: Sửa đề: HM⊥AB tại M

Xét ΔAMH vuông tại M và ΔAHB vuông tại H có

\(\hat{MAH}\) chung

Do đó: ΔAMH~ΔAHB

=>\(\frac{AM}{AH}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔANH vuông tại N và ΔAHC vuông tại H có

\(\hat{NAH}\) chung

Do đó: ΔANH~ΔAHC

=>\(\frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

góc MAN chung

Do đó: ΔAMN~ΔACB

=>\(\frac{S_{AMN}}{S_{ACB}}=\left(\frac{AM}{AC}\right)^2=\left(\frac36\right)^2=\frac14\)

=>\(S_{ABC}=4\cdot S_{AMN}\)

b: ΔAMN~ΔACB

=>\(\hat{AMN}=\hat{ACB};\hat{ANM}=\hat{ABC}\)

DF//MN

=>\(\hat{ADF}=\hat{AMN}=\hat{ABC};\hat{AFD}=\hat{AMN}=\hat{ACB}\)

Xét ΔADF và ΔABC có

\(\hat{ADF}=\hat{ABC}\)

góc DAF chung

Do đó: ΔADF~ΔABC

=>\(\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

=>\(\frac{AD}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

Xét ΔADB và ΔAFC có

\(\frac{AD}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

góc DAB chung

Do đó: ΔADB~ΔAFC

=>\(\hat{AFC}=\hat{ADB}=90^0\)

=>CF⊥AB tại F

Xét ΔABC có

BD,AH là các đường cao

BD cắt AH tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔABC

=>CE⊥AB

mà CF⊥AB

và CE,CF có điểm chung là C

nên C,E,F thẳng hàng

=>ΔAFE vuông tại F

Ta có: \(\hat{FAE}+\hat{FEA}=90^0\) (ΔFAE vuông tại F)

\(\hat{ABC}+\hat{FAE}=90^0\) (ΔAHB vuông tại H)

Do đó: \(\hat{AEF}=\hat{ABC}\)

Theo đề ra, ta có:

Tam giác AHB vuông tại H và HM vuông góc AB

\(\Rightarrow AH^2=AM.AB\)

\(\Leftrightarrow AH^2=AN.AC\)

\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Ta có: \(\widehat{MAN}=\widehat{BAC}\)

=> Tam giác AMN ~ Tam giác ABC

C N A H B M