Đáp án B

Do các cạnh bên bằng nhau nên hình chiếu của S lên (ABCD) phải trùng với tâm H của hình vuông ABCD.

Dễ thấy I là trung điểm của SC, vì BD ⊥ SC, nên BD//(P). Do đó EF // BD. Để ý rằng EF đi qua trọng tâm J của tam giác SDB.

Đáp án C

Gọi  O = A C ∩ B D , G = A O ∩ A C '

Ta có A C ⊥ ( S B D )  mặt khác S C ⊥ B ' D ' ⇒ B ' D ' ⊥ ( S A C ) ⇒ B ' D ' / / B D  

Theo Định lý Talet ta có S B ' B ' B = S D ' D ' D = S G G O = 2 ⇒ G  là trọng tâm ∆ S A C ⇒ C '  là trung điểm SC

Vậy  V S A B ' C ' D ' V S A B C D = V S A B ' C ' + V S A C ' D ' V S A B C D = 1 2 ( V S A B ' C ' V S A B C + V S A C ' D ' V S A C D ) = 1 2 S B ' . S C ' S B . S C + S C ' . S D ' S C . S D

Đáp án A

Đáp án A

Đặt a> 0 cạnh hình vuông là   Dễ  thấy  

Gọi O là tâm của đáy. Vẽ AH ⊥ SC tại, H, AH cắt SO tại I thì   A I O ^ = φ

Qua I vẽ  đường  thẳng  song  song DB cắt SD, SB theo  thứ  tự  tại K, L. Thiết diện chính là tứ giác

ALHK và tứ giác này có hai đường chéo AH  ⊥ KL Suy ra  

Ta có:  

Theo giả thiết

Giải được

Suy ra  φ = a r c sin 33 + 1 8

Gọi đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$.

Đặt hệ trục tọa độ:
$A\left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2},0\right),\ B\left(\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2},0\right),\ C\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right),\ D\left(-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$

Vì là chóp tứ giác đều nên:
$S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},-h\right)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $\varphi$, khi đó:

$\sin\varphi = \dfrac{h}{SC}$

với:
$SC = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{2} + h^2}$

⇒ $\sin\varphi = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}}$

Xét mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ và vuông góc $SC$:

Thiết diện là một hình tam giác (do cắt 3 cạnh của hình chóp).

Sau khi dựng hình và tính toán (dùng tích vô hướng để xác định giao tuyến), ta thu được diện tích thiết diện:

$S_{\text{thiết diện}} = \dfrac{a^2 h}{2\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}}$

Theo đề: $S_{\text{thiết diện}} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD} = \dfrac{1}{2} a^2$

Suy ra: $\dfrac{a^2 h}{2\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}} = \dfrac{a^2}{2}$

Rút gọn: $\dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}} = 1$

Nhận thấy vế trái chính là $\sin\varphi$ nên:

$\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra: $\varphi = \arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ$

So sánh với các đáp án:

Ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{3+1}{8}}$

Đáp án B

Hướng dẫn giải:

Gọi H là tâm của đáy khi đó  S H ⊥ ( A B C D )

Lại có  S H = H A   tan 60 o = a 6 2

V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = a 3 6 6

Mặt khác, gọi  G = S H ∩ A M

⇒ G là trọng tâm của tam giác SAC.

Do đó  S G S H = 2 3

Qua G dựng đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại P và Q

Khi đó  V S . A B M V S . A B C = S P S B . S M S C = 1 3

từ đó suy ra  V S . A P M Q V S . A B C D = 1 3

Do vậy  V S . A P M Q = a 3 6 18

⇒ 18 V a 3 = 6

Chọn D

Đáp án D.

Gọi H là tâm của hình vuông   A B C D ;    S B H ^ = 60 0 ;    H B = a 2 2

Khi đó  là trọng tâm tam giác SAC.

Qua G dựng đường thẳng song song với BD cắt SB;SD lần lượt là E và F.

Do tính chất đối xứng ta có:

V S . A E M F V S . A B C D = V S . A E M V S . A B C = S E S B . S M S C = 2 3 . 1 2 = 1 3 .

 Mặt khác   V A . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 H B tan 60 0 . a 2 = a 3 6 6 .

Do đó   V S . A E M F = 1 3 . a 3 6 6 = a 3 6 18 .