a) Xét tứ giác AOCM có 

\(\widehat{MAO}\) và \(\widehat{MCO}\) là hai góc đối

\(\widehat{MAO}+\widehat{MCO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AOCM là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

nên A,O,C,M cùng nằm trên một đường tròn(đpcm)

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>BC⊥AD tại C

Xét tứ giác ACHE có \(\hat{ACH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ACHE là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAED vuông tại E và ΔACB vuông tại H có

AD=AB

góc EAD chung

Do đó: ΔAED=ΔACB

=>AE=AC

Xét ΔAEH vuông tại E và ΔACH vuông tại C có

AH chung

AE=AC

Do đó: ΔAEH=ΔACH

=>\(\hat{EAH}=\hat{CAH}\)

=>\(\hat{BAH}=\hat{DAH}\)

c: Xét ΔDAB có

DE,BC là các đường cao

DE cắt BC tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔDAB

=>AH⊥BD

=>AK⊥BD

Xét (O) có

ΔAKB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAKB vuông tại K

=>AK⊥KB

mà AK⊥BD

và BK,BD có điểm chung là B

nên B,K,D thẳng hàng

Tóm tắt thôi nhé

a) Các cạnh // => Hình bình hành

T/g OBE = t/g OCD (^B=^C=90*, OB=OC, ^BOE=^COD vì cùng phụ với EOD) => OE = OD (2 cạnh kề) => Hình thoi

b) Nối OO' => 2 tam giác cân cùng góc đáy => so le trong => //

c) 1] OO' là đường trung trực của AB => đường trung bình

2] CB//OO'

Cm tương tự 1] để được BD//OO' => Ơ-clit => thẳng hàng

a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AEC=90\) mà \(\angle MOC=90\Rightarrow OMEC\) nội tiếp

b) Xét \(\Delta AMO\) và \(\Delta ACE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AOM=\angle AEC=90\\\angle CAEchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMO\sim\Delta ACE\Rightarrow\dfrac{AM}{AO}=\dfrac{AC}{AE}\Rightarrow AM.AE=AO.AC=2R^2\)

Ta có: \(CD^2=CO^2+OD^2=2R^2\Rightarrow AM.AE+CD^2=4R^2\)

c) \(\Delta AMO\sim\Delta ACE\Rightarrow\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AM}{AO}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{AD}{DN}\)

Xét \(\Delta ADN\) và \(\Delta AEC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ADN=\angle AEC=90\\\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AD}{DN}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ADN\sim\Delta AEC\Rightarrow\angle AND=\angle ACE=\angle AMO\Rightarrow AMND\) nội tiếp

mà \(\angle ADN=90\Rightarrow\angle AMN=90\Rightarrow NM\bot AE\) mà \(CE\bot AE\)

\(\Rightarrow MN\parallel CE\)

d) Ta có: \(AM=\sqrt{AO^2+OM^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}R\)

\(\Delta AMO\sim\Delta ACE\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AO}{AM}=\dfrac{R}{\dfrac{\sqrt{5}}{2}R}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow AE=\dfrac{4}{\sqrt{5}}R\)

AMND nt \(\Rightarrow\angle MAN=\angle MDN=\angle MDA=\angle MNA\Rightarrow\Delta MAN\) vuông cân tại M \(\Rightarrow MN=MA=\dfrac{\sqrt{5}}{2}R\)

Ta có: \(S_{ANE}=\dfrac{1}{2}NM.AE=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{5}}{2}R.\dfrac{4}{\sqrt{5}}R=R^2\)

về ý tưởng cơ bản là vậy,còn mình có tính toán gì sai thì bạn sửa nhé

a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{ABO}+\hat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC và OA là phân giác của góc BOC

ΔOBC cân tại O

mà OA là phân giác

nên OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

b: ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>BA=8(cm)

Xét ΔBAO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot AO=BA\cdot BO\)

=>BH=6*8/10=4,8(cm)

H là trung điểm của BC

=>\(BC=2\cdot BH=9,6\left(\operatorname{cm}\right)\)