Bài 3:

1: Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

Ta có; AC+BD

=CM+DM

=DC

2; OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Ta có: \(\hat{MOB}+\hat{MOA}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOD}+\hat{MOC}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

3: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

=>\(CA\cdot BD=OM^2=\left(\frac12AB\right)^2=\frac14AB^2\)

4: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>MA⊥MB

ΔOAM cân tại O

mà OC là đường phân giác

nên OC⊥AM

mà MA⊥MB

nên OC//MB

5: Gọi K là trung điểm của CD
=>K là tâm đường tròn đường kính CD

ΔOCD vuông tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên KO=KC=KD

=>O nằm trên (K)

Xét hình thang ACDB có

K,O lần lượt là trung điểm của DC,AB

=>KO là đường trung bình của hình thang ACDB

=>KO//BD//AC

=>KO⊥AB

Xét (K) có

KO là bán kính

AB⊥KO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến tại O của (K)

6: Xét ΔNDB và ΔNAC có

\(\hat{NDB}=\hat{NAC}\) (hai góc so le trong, DB//AC)

\(\hat{DNB}=\hat{ANC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNDB~ΔNAC

=>\(\frac{ND}{NA}=\frac{NB}{NC}=\frac{DB}{CA}=\frac{DM}{MC}\)

Xét ΔDAC có \(\frac{DM}{MC}=\frac{DN}{NA}\)

nên MN//AC

=>MN⊥AB

Bài 2:

1: Xét tứ giác CEHD có \(\hat{CEH}+\hat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

2; Xét tứ giác AEDB có \(\hat{AEB}=\hat{ADB}=90^0\)

nên AEDB là tứ giác nội tiếp

=>A,E,D,B cùng thuộc một đường tròn

3: ΔABC cân tại A

mà AD là đường cao

nên D là trung điểm của BC

ΔEBC vuông tại E

mà ED là đường trung tuyến

nên ED=1/2BC

Gợi ý: Đưa về so sánh góc ở tâm để kết luận

a: góc BAC=góc BCA

=>sđ cung BC=sđ cung BA

b: xy//DE
=>góc AED=góc yAE=góc ABC

c: góc AED=góc ABC

=>góc ABC+góc DEC=180 độ

=>BCDE nội tiếp

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

góc CEH = 90⁰ (Vì BE là đường cao)

góc CDH = 90⁰ (Vì AD là đường cao)

=> góc CEH + góc CDH = 180⁰

Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEA = 90⁰.

AD là đường cao => AD ┴ BC => BDA = 90⁰.

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90⁰ => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 90⁰.

Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1/2 BC.

A B C E F D 1 2 1 2 2 1

Theo giả thuyết suy ra các cung bằng nhau :

\(\widebat{AD}=\widebat{AF}=\widebat{DB}=\widebat{FC}\)

Do đó \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\)mà 2 góc ở vị trí sole trong \(\Rightarrow AD//EF\)   \(\left(1\right)\)

\(\widehat{A_2}=\widehat{C}_1\) mà 2 góc ở vị trí sole trong \(\Rightarrow AF//CD\)   \(\left(2\right)\)

và \(AD=EF\)  \(\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\)ADEF là hình thoi

1: Xét tứ giác BEDC có \(\hat{BEC}=\hat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

2: BEDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{CED}=\hat{CBD}=\hat{CBM}\) (1)

Xét (O) có

\(\hat{CBM};\hat{CNM}\) là các góc nội tiếp chắn cung CM

Do đó: \(\hat{CBM}=\hat{CNM}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{CED}=\hat{CNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên ED//MN

Xét ΔADB và ΔABE có 

\(\widehat{BAD}\) chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔABE

Suy ra: \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\)

hay \(AB^2=AD\cdot AE\)