a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: Xét ΔANB và ΔACN có

góc ANB=góc ACN

góc NAB chung

=>ΔANB đồng dạng với ΔACN

=>AN^2=AB*AC

a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: Xét ΔANB và ΔACN có

góc ANB=góc ACN

góc NAB chung

=>ΔANB đồng dạng với ΔACN

=>AN^2=AB*AC

b: kẻ OG⊥MN tại G. Gọi I là giao điểm của BC và OG. ,Gọi H là giao điểm của BC và OA

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

DO đó: AB=AC và OA là phân giác của góc BOC

ΔOBC cân tại O

mà OA là đường phân giác

nên OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOHI vuông tại H và ΔOGA vuông tại G có

\(\hat{HOI}\) chung

Do đó: ΔOHI~ΔOGA

=>\(\frac{OH}{OG}=\frac{OI}{OA}\)

=>\(OI\cdot OG=OH\cdot OA\)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2\)

=>\(OI\cdot OG=OB^2=R^2=OM^2\)

=>\(\frac{OI}{OM}=\frac{OM}{OG}\)

Xét ΔOIM và ΔOMG có

\(\frac{OI}{OM}=\frac{OM}{OG}\)

góc IOM chung

Do đó: ΔOIM~ΔOMG

=>\(\hat{OMI}=\hat{OGM}=90^0\)

=>MI là tiếp tuyến tại M của (O)

ΔOMN cân tại O

mà OG là đường cao

nên OG là phân giác của góc MON

Xét ΔOMI và ΔONI có

OM=ON

\(\hat{MOI}=\hat{NOI}\)

OI chung

Do đó: ΔOMI=ΔONI

=>\(\hat{OMI}=\hat{ONI}\)

=>\(\hat{ONI}=90^0\)

=>IN là tiếp tuyến tại N của (O)

=>I là giao điểm của tiếp tuyến của (O) tại M và N

=>I và P trùng nhau

=>B,C,P thẳng hàng

c: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC⊥CD
mà BC⊥OA

nên OA//CD
=>OA//CE

Xét ΔBOA vuông tại B và ΔODE vuông tại O có

BO=OD

\(\hat{BOA}=\hat{ODE}\) (hai góc đồng vị, OA//DE)

Do đó:ΔBOA=ΔODE

=>BA=OE

mà BA=CA

nên CA=OE

Xét tứ giác CEAO có

CE//AO

CA=OE

Do đó: CEAO là hình thang cân

Vì AM và AN là 2 tiếp tuyến của đường tròn tâm O 

=> \(\left\{{}\begin{matrix}AM\perp OM\\AN\perp ON\end{matrix}\right.\)  => \(\left\{{}\begin{matrix}GócAMO=90\\GócANO=90\end{matrix}\right.\)

Xét từ giác AMON có :

AMO + ANO = 90 + 90 = 180 

Mà 2 góc này ở vị try đối diện nhau 

=> Tứ giác AMON nội tiếp < đpcm>

E đối xứng B qua OA

=>OA là đường trung trực của EB

=>OB=OE

=>E thuộc (O)

A nằm trên đường trung trực của EB

=>AB=AE

ΔOBA vuông tại B

=>\(OB^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2=10^2-5^2=100-25=75\)

=>\(BA=5\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

=>\(AB=AE=5\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

OB=OE

=>OB=OE=5(cm)

Chu vi tứ giác OBAE là:

\(C_{OBAE}=OB+BA+AE+OE\)

\(=5+5+5\sqrt3+5\sqrt3=10\sqrt3+10\left(\operatorname{cm}\right)\)

a, Ta có SA = SB (tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

OA = OB = R

Vậy OS là đường trung trực đoạn AB 

=> SO vuông AB tại H

b, Vì I là trung điểm 

=> OI vuông NS 

Xét tứ giác IHSE ta có ^EHS = ^EIS = 90⁰

mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh ES

Vậy tứ giác IHSE nt 1 đường tròn 

=> ^ESH = ^HIO ( góc ngoài đỉnh I ) 

Xét tam giác OIH và tam giác OSE có 

^HIO = ^OSE (cmt) 

^O_ chung 

Vậy tam giác OIH ~ tam giác OSE (g.g) 

\(\dfrac{OI}{OS}=\dfrac{OH}{OE}\Rightarrow OI.OE=OH.OS\)

Xét tam giác OAS vuông tại A ( do SA là tiếp tuyến với A là tiếp điểm), đường cao AH ta có 

\(OA^2=OH.OS\)(hệ thức lượng) 

\(\Rightarrow OA^2=R^2=OI.OE\)

Ta có: MN ⊥ OM (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: QP ⊥ OP tại P

Vậy PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ta có: MN ⊥ O’N (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: QP ⊥ O’Q tại Q

Tham khảo: