1: Xét tứ giác AOME có \(\hat{OAE}+\hat{OME}=90^0+90^0=180^0\)

nên AOME là tứ giác nội tiếp

2: AOME là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AOE}=\hat{AME}\) (1)

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

Ta có: \(\hat{BMO}+\hat{AMO}=\hat{AMB}=90^0\)

\(\hat{AMO}+\hat{AME}=\hat{OME}=90^0\)

Do đó: \(\hat{BMO}=\hat{AME}\)

=>\(\hat{AME}=\hat{AOE}=\hat{BMO}\)

2: góc OME+góc OAE=180 độ

=>OMEA nội tiếp

=>góc AOE=góc AME=góc OMB

Kiến thức áp dụng

Nối AB. Ta có: = (1)

( cùng chắn cung và có số đo bằng sđ)

= (2)

(cùng chắn cung nhỏ và có số đo bằng sđ)

TỪ (1) và (2) có = từ đó AQ // Px (có hai góc so le trong bằng nhau)

Ta có:

Mà OB ⊥ BC ⇒ IM ⊥ BC

Ta có:

IM ⊥ BC

BC ⋂ (I; IM) = {M}

Suy ra, BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, bán kính IM

a: Xét (O) có

ID,IA là các tiếp tuyến

Do đó: IO là phân giác của góc DIA

=>\(\widehat{DIA}=2\cdot\widehat{OIA}\)

Xét (O') có

IA,IE là các tiếp tuyến

Do đó: IO' là phân giác của góc AIE

=>\(\widehat{AIE}=2\cdot\widehat{AIO'}\)

Ta có: \(\widehat{DIA}+\widehat{EIA}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\left(\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{OIO'}=180^0\)

=>\(\widehat{OIO'}=90^0\)

b: Xét (O) có

ID,IA là các tiếp tuyến

Do đó: ID=IA

Xét (O') có

IA,IE là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IE

Ta có: IA=IE

ID=IA

Do đó: ID=IE

=>I là trung điểm của DE

=>I là tâm đường tròn đường kính DE

Xét ΔDAE có

AI là bán kính

\(AI=\dfrac{DE}{2}\)

Do đó: ΔADE vuông tại A

=>A nằm trên (I)

Xét (I) có

IA là bán kính

O'O\(\perp\)IA tại A

Do đó: OO' là tiếp tuyến của (I)

=>O'O là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc BC tại H

=>AH*AO=AB^2

Xet ΔABD và ΔAEB có

góc ABD=góc AEB

góc BAD chung

=>ΔABD đồng dạng với ΔAEB

=>AB^2=AD*AE=AH*AO

=>AD/AO=AH/AE

=>ΔADH đồng dạng với ΔAOE
=>góc ADH=góc AOE

=>góc DHO+góc DEO=180 độ

=>DEOH nội tiếp

=>góc EHO=góc EDO

a: Xét (O) có

IM,IA là các tiếp tuyến

Do đó: IM=IA và OI là phân giác của góc MOA; IO là phân giác của góc MIA

Xét (O') có

IA,IN là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IN; IO' là phân giác của góc AIN và O'I là phân giác của góc AO'N

IO là phân giác của góc MIA

=>\(\hat{MIA}=2\cdot\hat{OIA}\)

IO' là phân giác của góc AIN

=>\(\hat{AIN}=2\cdot\hat{AIO^{\prime}}\)

Ta có: \(\hat{MIA}+\hat{NIA}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{OIA}+\hat{O^{\prime}IA}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{O^{\prime}IO}=180^0\)

=>\(\hat{O^{\prime}IO}=90^0\)

=>ΔIO'O vuông tại I

Ta có: IM=IA

IA=IN

Do đó: IM=IN

=>I là trung điểm của MN

Xét ΔAMN có

AI là đường trung tuyến

AI=MN/2

Do đó: ΔAMN vuông tại A

b: Gọi K là trung điểm của O'O

=>K là tâm đường tròn đường kính O'O

ΔIO'O vuông tại I

mà IK là đường trung tuyến

nên IK=KO=KO'

=>I nằm trên (K)

Xét hình thang OMNO' có

I,K lần lượt là trung diểm của MN,O'O

=>IK là đường trung bình của hình thang OMNO'

=>IK//OM//O'N

=>IK⊥MN

=>MN là tiếp tuyến tại I của (K)

=>MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính O'O

Xét (O) có

\(\hat{BAD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AD và dây cung AB

\(\hat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\hat{BAD}=\hat{ACB}\)

Xét (O') có

\(\hat{CAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung AB

\(\hat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\hat{CAB}=\hat{ADB}\)

Xét ΔBAC và ΔBDA có

\(\hat{BAC}=\hat{BDA}\)

\(\hat{BCA}=\hat{BAD}\)

Do đó: ΔBAC~ΔBDA

=>\(\frac{BA}{BD}=\frac{BC}{BA}\)

=>\(BA^2=BD\cdot BC=8\cdot4=32\)

=>\(BA=4\sqrt2\)