a: góc KPM=góc KPB+góc MPN=45 độ+góc BNH

góc HMN=góc HMA+góc NMA=45 độ+góc HMA

mà góc BNH=góc HMA

nên góc KPM=góc HMN

b: ΔMNP vuông cân tại M

mà MA là trung tuyến

nên MA=AP

=>ΔMAP cân tại M

Xét tam giác PAB ta có:

PA = PB (gt)

-> tam giác PAB cân tại P 

-> góc PAB = góc PBA ( tính chất tam giác cân )

Xét tam giác MNP cân tại P , ta có:

góc M= góc N ( tính chất tam giác cân )

Xét tam giác PAB ta có:

Góc P+ PAB + PBA = 180 độ ( định lí tổng 3 góc trong tam giác )

mà PAB=PBA (cmt)

-> PAB = \(\frac{180-P}{2}\left(1\right)\)

Xét tam giác PMN, ta có:

P + M +N = 180 độ ( định lí tổng 3 góc trong tam giác )

-> M = \(\frac{180-P}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) -> PAB = M 

mà PAB và M là 2 góc đồng vị

-> AB // MN ( dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)

Xét tứ giác MABN ,ta có:

AB // MN 

-> MABN là hình thang có 2 góc M và N kề 1 đáy bằng nhau

a: ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{BCD}=60^0\)

AE//BC

=>\(\hat{AED}=\hat{BCD}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{AED}=60^0\)

Xét ΔAED có \(\hat{ADE}=\hat{AED}\left(=60^0\right)\)

nên ΔADE đều

=>DA=DE=AE

AB//CD
=>\(\hat{AMD}=\hat{MDC}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{MDC}=\hat{ADM}\) (DM là phân giác của góc ADC)

nên \(\hat{AMD}=\hat{ADM}\)

=>AM=AD

Xét tứ giác ABCE có

AE//BC

AB//CE
DO đó: ABCE là hình bình hành

=>AE=BC và AB=EC

AB+AM

=CE+AD

=CE+DE

=CD

a: Ta có: \(\hat{ABQ}=\hat{CBQ}=\frac12\cdot\hat{ABC}\) (BQ là phân giác của góc ABC)

\(\hat{ACP}=\hat{BCP}=\frac12\cdot\hat{ACB}\) (CP là phân giác của góc ACB)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ABQ}=\hat{CBQ}=\hat{ACP}=\hat{BCP}\)

Xét ΔOBC có \(\hat{OBC}=\hat{OCB}\)

nên ΔOBC cân tại O

=>OB=OC

b: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO đi qua trung điểm của BC

c: Xét ΔABQ và ΔACP có

\(\hat{ABQ}=\hat{ACP}\)

AB=AC
\(\hat{BAQ}\) chung

Do đó: ΔABQ=ΔACP

=>BQ=CP và AQ=AP

Xét ΔAPQ có AP=AQ
nên ΔAPQ cân tại A

-Lưu ý: Chỉ mang tính chất tóm tắt lại bài làm, bạn không nên trình bày theo!

a) △MNP vuông tại M \(\Rightarrow MN^2+MP^2=NP^2\Rightarrow NP^2=\sqrt{MN^2+MP^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

△MNP có: ND phân giác.\(\Rightarrow\dfrac{DM}{DP}=\dfrac{NM}{NP}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DM}{NM}=\dfrac{DP}{NP}=\dfrac{DM+DP}{NM+NP}=\dfrac{MP}{NM+NP}\)

\(\Rightarrow DM=\dfrac{MP.NM}{NM+NP}=\dfrac{4.3}{3+5}=1,5\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow DP=\dfrac{MP.NP}{NM+NP}=\dfrac{4.5}{3+5}=2,5\left(cm\right)\)

b) △MNH∼△PNM (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{MN}{PN}=\dfrac{NH}{NM}\)

△MNH có: NK phân giác \(\Rightarrow\dfrac{NH}{NM}=\dfrac{KH}{KM}=\dfrac{MN}{PN}=\dfrac{DM}{DP}\)

c) △MND∼HNK (g-g) \(\Rightarrow\widehat{MDN}=\widehat{HKN}=\widehat{MKD}\); \(\dfrac{NM}{NH}=\dfrac{ND}{NK}\Rightarrow NH.ND=NM.NK\)

\(\Rightarrow\)△MDK cân tại M

M P N 3 4 A C G

a) xét \(\Delta MNP\)VUÔNG TẠI M CÓ

\(\Rightarrow NP^2=MN^2+MP^2\left(PYTAGO\right)\)

THAY\(NP^2=4^2+3^2\)

\(NP^2=16+9\)

\(NP^2=25\)

\(\Rightarrow NP=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

XÉT \(\Delta MNP\)CÓ

\(\Rightarrow NP>MN>MP\left(5>4>3\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{M}>\widehat{P}>\widehat{N}\)( QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN)

B) xét \(\Delta\text{ CPM}\)VÀ\(\Delta\text{CPA}\)CÓ

 \(PM=PA\left(GT\right)\)

\(\widehat{MPC}=\widehat{APC}=90^o\)

PC LÀ CAH CHUNG 

=>\(\Delta\text{ CPM}\)=\(\Delta\text{CPA}\)(C-G-C)

c)

\(\Delta CPM=\Delta CPA\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CMP}=\widehat{CPA}\left(\text{hai góc tương ứng}\right)\)

\(\text{Ta có: }\)\(\widehat{MNA}+\widehat{NAM}=90^o\left(\Delta MNA\perp\text{ tại M}\right)\)

             \(\widehat{NMC}+\widehat{CMP}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MNA}+\widehat{NAM}=\)\(\widehat{NMC}+\widehat{CMP}\)

\(\Rightarrow\widehat{MNA}=\widehat{NMC}\left(\widehat{CMP}=\widehat{NAM}\right)\)

\(Hay:\)\(\widehat{MNC}=\widehat{NMC}\)

\(\Rightarrow\Delta NMC\text{ cân}\)

\(\Rightarrow CN=CM\left(đpcm\right)\)

a: Xét (O) có

\(\hat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

\(\hat{CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

\(\hat{ABD}=\hat{CBD}\)

Do đó: sđ cung DA=sđ cung DC

Xét (O) có

\(\hat{ACE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE

\(\hat{BCE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

\(\hat{ACE}=\hat{BCE}\)

Do đó: sđ cung EA=sđ cung EB

Xét (O) có \(\hat{AMD}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AD và BE

=>\(\hat{AMD}=\frac12\) (sđ cung AD+sđ cung BE)

=1/2(sđ cung AD+sđ cung AE)

=1/2*sđ cung DE

Xét (O) có

\(\hat{ANE}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AE và CD

=>\(\hat{ANE}=\frac12\) (sđ cung AE+sđ cung CD)

=1/2(sđ cung AE+sđ cung AD)

=1/2*sđ cung DE

=>\(\hat{AMN}=\hat{ANM}\)

=>ΔAMN cân tại A

b: Gọi F là giao điểm của AI và (O)

Xét ΔABC có

BD,CE là các đường phân giác

BD cắt CE tại I

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

=>AI là phân giác của góc BAC

Xét (O) có \(\hat{BAF}\) là góc nội tiếp chắn cung BF

\(\hat{CAF}\) là góc nội tiếp chắn cung CF

\(\hat{BAF}=\hat{CAF}\)

Do đó: sđ cung FB=sđ cung FC

Xét (O) có \(\hat{AID}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AD và BF

=>\(\hat{AID}=\frac12\) (sđ cung AD+sđ cung BF)

=1/2(sđ cung CD+sđ cung CF)

=1/2*sđ cung DF

Xét (O) có \(\hat{DAF}\) là góc nội tiếp chắn cung DF

=>\(\hat{DAF}=\frac12\cdot\) sđ cung DF

=>\(\hat{DIA}=\hat{DAI}\)

=>ΔDAI cân tại D

Xét (O) có \(\hat{AIE}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AE và CF

=>\(\hat{AIE}=\frac12\) (sđ cung AE+sđ cung CF)

=1/2(sđ cung BE+Sđ cung BF)

=1/2*sđ cung EF

Xét (O) có \(\hat{EAF}\) là góc nội tiếp chắn cung EF

=>\(\hat{EAF}=\frac12\) *sđ cung EF

=>\(\hat{EAI}=\hat{EIA}\)

=>ΔEAI cân tại E