M P N A B D C

Ta có MN vuông góc BC   (gt)

         AB vuông góc BC  (gt)

=> MN // AB

Theo đinh lí Talet ta được \(\frac{MN}{AB}=\frac{CN}{BC}=\frac{CM}{AC}\) (1)

Ta có MP vuông góc AD  (gt)

         DC  vuông góc AD  (gt)

=> MP // DC

Theo đinh lí Talet ta được \(\frac{MP}{DC}=\frac{AP}{AD}=\frac{AM}{AC}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{MN}{BC}+\frac{MP}{AD}=\frac{CM}{AC}+\frac{AM}{AC}=\frac{CM+AM}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)(ĐPCM)

Wi ơi. Theo bạn đề bài đúng bay sai? Mik suy nghĩ một tuần rồi mà vẫn k lm giống đề đc , mik chỉ lm đc như Wi lm thoyy

Hình ảnh minh họa , tại e k biết vẽ nhưng A và D = 90 độ và MC=CD , MB=AB . Hình dạng đúng rồi nhưng số đo góc và cạnh k đúng

Hình vẽ:

Từ giả thiết ta có \(\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{CD}{AB}\left(1\right)\)

Mặt khác \(\left\{{}\begin{matrix}BA\perp AD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\Rightarrow BA//CD\)

\(\Rightarrow\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{NC}{NA}\left(2\right)\) (Định lí Talet)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{NC}{NA}\)

\(\Rightarrow MN//AB\)

Mà \(AB\perp AD\Rightarrow MN\perp AD\)

a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\)

BD chung

Do đó; ΔBAD=ΔBED

b: ΔBAD=ΔBED

=>\(\hat{BAD}=\hat{BED}\)

=>\(\hat{BED}=90^0\)

=>DE⊥BC

ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE
=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)

BA=BE

=>B nằm trên đường trung trực của AE(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AE
c: AH⊥BC

DE⊥BC

Do đó: AH//DE

d: Ta có: \(\hat{EDC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔEDC vuông tại E)

\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

Do đó: \(\hat{EDC}=\hat{ABC}\)

e: Xét ΔDAK vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

\(\hat{ADK}=\hat{EDC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAK=ΔDEC

=>DK=DC và AK=EC

BA+AK=BK

BE+EC=BC

mà BA=BE và AK=EC

nên BK=BC

=>B nằm trên đường trung trực của KC(1)

DK=DC

=>D nằm trên đường trung trực của KC(2)

MK=MC

=>M nằm trên đường trung trực của KC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra B,D,M thẳng hàng

A B C D M N F E G H I K

Gọi G,H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,AC. Giao điểm của MG và NH là I.

Ta thấy \(\Delta\)CDN cân tại N có H là trung điểm cạnh CD => NH vuông góc CD => IH vuông góc CD

Mà EK là đường trung bình trong \(\Delta\)ACD nên IH vuông góc EK (1)

Dễ dàng chứng minh tứ giác EHFG là hình thoi => EF vuông góc GH (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^IHG = ^KEF (Vì 2 góc này cùng phụ với góc hợp bởi EF và IH)

Tương tự ^IGH = ^KFE. Từ đó \(\Delta\)GIH ~ \(\Delta\)FKE (g.g) => \(\frac{IG}{IH}=\frac{KF}{KE}=\frac{AB}{CD}=\frac{BG}{CH}\)

Ta lại có \(\Delta\)MGB ~ \(\Delta\)NHC (g.g)  => \(\frac{BG}{CH}=\frac{MG}{NH}\). Do vậy \(\frac{IG}{IH}=\frac{MG}{NH}\)

Áp dụng ĐL Thales đảo vào \(\Delta\)MIN ta được GH // MN

Mà EF vuông góc GH (cmt) nên EF vuông góc MN (đpcm).