sửa đề: Đường thẳng AH cắt (O) tại P

Gọi I là giao điểm của AH và BC

Xét (O) có

ΔAPD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔAPD vuông tại P

=>AP⊥PD

=>AH⊥PD

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC tại I

mà AH⊥PD

nên PD//BC

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

Xét (O) có

\(\hat{ABC};\hat{ADC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC

=>\(\hat{ABC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔAIB vuông tại I và ΔACD vuông tại C có

\(\hat{ABI}=\hat{ADC}\)

Do đó: ΔAIB~ΔACD

=>\(\hat{BAI}=\hat{DAC}\)

=>\(\hat{BAP}=\hat{DAC}\)

ΔBEC vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên EM=MB=MC

Xét ΔEMC có \(\hat{EMB}\) là góc ngoài tại đỉnh M

nên \(\hat{EMB}=\hat{MEC}+\hat{MCE}=2\cdot\hat{MCE}=2\cdot\hat{ACB}\)

Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)

mà \(\hat{BFE}+\hat{AFE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AFE}=\hat{ACB}\)

Xét tứ giác AFDC có \(\hat{AFC}=\hat{ADC}=90^0\)

nên AFDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AFD}+\hat{ACD}=180^0\)

mà \(\hat{AFD}+\hat{BFD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BFD}=\hat{BCA}\)

Ta có: \(\hat{BFD}+\hat{AFE}+\hat{EFD}=180^0\)

=>\(\hat{BCA}+\hat{BCA}+\hat{DFE}=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{BCA}+\hat{DFE}=180^0\)

=>\(\hat{DFE}+\hat{DME}=180^0\)

=>FEMD là tứ giác nội tiếp

1: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

Xét (O) có

\(\hat{ABC};\hat{AKC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{ABC}=\hat{AKC}\)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔACK vuông tại C có

\(\hat{ABD}=\hat{AKC}\)

Do đó: ΔADB~ΔACK

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AK}\)

=>\(AB\cdot AC=AD\cdot AK=AD\cdot2R\)

a: Xét ΔABC có

AM,BN,CP là các đường cao

H là trực tâm

DO đó: AM,BN,CP đồng quy tại H

Xét tứ giác APHN có \(\hat{APH}+\hat{ANH}=90^0+90^0=180^0\)

nên APHN là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BPNC có \(\hat{BPC}=\hat{BNC}=90^0\)

nên BPNC là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác BPHM có \(\hat{BPH}+\hat{BMH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BPHM là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CMHN có \(\hat{CMH}+\hat{CNH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CMHN là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\hat{HPN}=\hat{HAN}\) (APHN nội tiếp)

\(\hat{HPM}=\hat{HBM}\) (BPHM nội tiếp)

mà \(\hat{HAN}=\hat{HBM}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

nên \(\hat{HPN}=\hat{HPM}\)

=>PH là phân giác của góc MPN

Ta có: \(\hat{PNH}=\hat{PAH}\) (APHN nội tiếp)

\(\hat{MNH}=\hat{MCH}\) (MCNH nội tiếp)

mà \(\hat{PAH}=\hat{MCH}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{PNH}=\hat{MNH}\)

=>NH là phân giác của góc MNP

Xét ΔMNP có

PH,NH là các đường phân giác

PH cắt NH tại H

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔMNP

ai đó làm giúp với

Lời giải:

$\widehat{HBD}=\widehat{EBC}=\widehat{CAD}$ (cùng phụ góc $\widehat{ACB}$)

$\widehat{CAD}=\widehat{CAK}=\widehat{KBC}=\widehat{KBD}$ (góc nt chắn cung $CK$)

$\Rightarrow \widehat{HBD}=\widehat{KBD}$

Xét tam giác vuông tại $D$ là $HBD$ và $KBD$ có:
$\widehat{HBD}=\widehat{KBD}$ (cmt)

$BD$ chung

$\Rightarrow \triangle HBD=\triangle KBD$ (g.c.g)

$\Rightarrow HD=KD$ (đpcm)

Hình vẽ: