Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Gọi E là giao điểm của PQ và AB

Ta có: MNPQ là hình bình hành

=>MN//PQ

=>\(\hat{BMN}=\hat{BEP}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{BEP}=\hat{QPD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{BMN}=\hat{DPQ}\)

Xét ΔBMN và ΔDPQ có

\(\hat{BMN}=\hat{DPQ}\)

\(\hat{MBN}=\hat{PDQ}\) (ABCD là hình bình hành)

Do đó: ΔBMN~ΔDPQ

=>\(\frac{BM}{DP}=\frac{BN}{DQ}=\frac{MN}{PQ}=1\)

=>BM=DP; BN=DQ

Xét tứ giác BMDP có

BM//DP

BM=DP

Do đó: BMDP là hình bình hành

=>BD cắt MP tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(2)

ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra BD,MP,NQ,AC đồng quy tại trung điểm của mỗi đường

hay hình bình hành MNPQ có chung tâm O với hình bình hành ABCD

a: Ta co: ABCD là hình bình hành

nên Hai đường chéo AC và DB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

hay O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD

b: Xét tứ giác AECG có

AE//CG

AE=CG

Do đó: AECG là hình bình hành

Suy ra: AC cắt EG tại trung điểm của mỗi đường

hay O là trung điểm của EG

Xét tứ giác BHDF có 

BF//DH

BF=DH

DO đó: BHDF là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo BD và HF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

hay O là trung điểm của HF

Xét tứ giác EHGF có 

O là trung điểm của EG

O là trung điểm của HF

Do đó: EHGF là hình bình hành

Sửa đề: cắt AB,AC,AD lần lượt tại E,M,F

Qua B, kẻ BI//FE(I∈AC). Qua D, kẻ DK//FE(K∈AC)

Xét ΔADK có FM//DK

nên \(\frac{AD}{AF}=\frac{AK}{AM}\)

Xét ΔAIB có ME//IB

nên \(\frac{AB}{AE}=\frac{AI}{AM}\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔOKD và ΔOIB có

\(\hat{IOB}=\hat{KOD}\) (hai góc đối đỉnh)

OB=OD

\(\hat{OBI}=\hat{ODK}\) (hai góc so le trong, BI//DK)

Do đó: ΔOKD=ΔOIB

=>OK=OI

\(\frac{AD}{AF}+\frac{AB}{AE}=\frac{AK}{AM}+\frac{AI}{AM}=\frac{AI+AI+IK}{AM}\)

\(=\frac{2\cdot AI+2\cdot IO}{AM}=\frac{2\cdot AO}{AM}=\frac{AC}{AM}\)

Vì AMB=góc CMB (gt)
Mà góc DMC = góc AMB (đối đỉnh)
=> góc DMC=góc CMB (t/c)

A B C D N M

CM: a) Ta có: AM = MB = 1/2AB (gt)

      ND = NC = 1/2DC (gt)

mà AB = CD (gt) => 1/2AB = 1/2CD
=> AM = MB = ND = NC

Xét tứ giác AMCN có: AM = MC (cmt)

                              AM // MC (gt)

=> tứ giác AMCN là hình bình hành

b) Xét tứ giác MBND có : MB // DM (gt)

                    MB = DN (cmt)

=> tứ giác MBND là hình bình hành